概率论与数理统计教学课件 李云龙 5.2方差.ppt

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1、§5.2方差例如012P00.20.8012P0.60.30.1一、方差的定义定义：设是一个随机变量，若存在，则称为的方差，记作（或），同时称为标准差(或均方差)，记作。注：r.v.X的方差反映了它的取值与其数学期望的偏离程度，它是衡量取值分散程度的一个尺度。例如012P00.20.8012P0.60.30.1对于离散型r.v.X有对于连续型r.v.X有2、由于3、简化公式1、r.v.X的方差反映了它的取值与其数学期望的偏离程度,它是衡量取值分散程度的一个尺度。若X的取值比较集中，则方差较小；若X的取值比

2、较分散，则方差较大；若方差D(X)=0，则随机变量X以概率1取常数值。注：二、方差的性质（1）（2）（3）若X,Y相互独立，则D(X+Y)=D(X)+D(Y)。D(X)=0的充要条件是X取常数c,即注：1、不一定成立。2、3、若独立，则D(X-Y)=D(X)+D(Y)(D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2[(X-E(X))(Y-E(Y))])4、D(kX+c)=D(X)三、六种常见分布的方差1、两点分布X～(0-1)2、二项分布X～B(n,p)3、泊松分布X～P(λ)服从参数为n,p的二项分布的r.v.X

3、的数学期望是np.X~B(n,p),若设则X=X1+X2+…+Xn=npi=1,2，…，n因为P(Xi=1)=p,P(Xi=0)=1-p所以E(X)=则X表示n重贝努里试验中的“成功”次数.E(Xi)==p4、均匀分布X～U(a,b)5、指数分布X～E(λ)例如:设随机变量相互独立,且服从参数为的指数分布,求。6、正态分布由于那么，有例1:设随机变量服从参数为的泊松分布，且已知，求参数。例3：X~B(n,p),且E(X)=3,D(X)=2,求P(X<8)例2：X服从泊松分布,且P(X=1)=P(X=2),

4、求E(X),D(X).四、举例例4：若随机变量有求和。例5：设随机变量的概率密度为求：和。例6：设两个随机变量相互独立，且都服从均值为0，方差为的正态分布，求随机变量的方差。方差在经济上可以反映一种风险程度例如：某公司有100万资金，可以投资某工程项目，如项目非常成功每年可获利50万（概率为0.6），如效益一般，则可获利20万（概率0.3），如项目失败则投资全部损失（概率0.1）。现在来评估投资风险。设X表示实际收益，则期望收益为E(X)=36(万)；标准差反映了实际收益与期望收益的“平均差距”为D(X)

5、=324，所以投资“风险”大约是标准差σ(X)=18万。