概率论与数理统计教学课件 李云龙 5.3协方差与相关系数.ppt

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1、5.3协方差与相关系数引言若X，Y独立，则：D(X+Y)=D(X)+D(Y)E(XY)=E(X)E(Y),从而有E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}=0.说明E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}的大小反映了X，Y间关联的程度。一、协方差与相关系数的定义1．协方差的定义量E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}称为随机变量X与Y的协方差，记为Cov(X，Y)，即Cov(X，Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}.而当D(X)>0,D(Y)>0时，称为X与Y的相关系数。注释：(1)Cov(X，Y)作

2、为[X-E(X)][Y-E(Y)]的均值，依赖于X，Y的度量单位，选择适当的单位使X，Y的方差是1，协方差就是相关系数，这能更好的反映X，Y之间的关系，而不受所用单位的影响。(2)ρXY是一比例常数，并有定义：ρXY=0X，Y不相关。(3)ρXY又称为标准协方差。因为设一般地，数学期望为0，方差为1的随机变量的分布称为标准分布，故ρXY又称为标准协方差。2．关系公式:(1)协方差与方差的关系：D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y)(2)协方差与数学期望的关系：Cov(X，Y)=E(XY

3、)-E(X)E(Y)我们常用这个公式计算协方差。(3)若X，Y独立，则Cov(X，Y)=0,但反之不成立。3．协方差与相关系数的性质协方差具有下述性质：(1)Cov(X，Y)=Cov(Y，X)；(2)Cov(aX，bY)=abCov(X，Y)；(3)Cov(X1+X2，Y)=Cov(X1，Y)+Cov(X2，Y)相关系数具有下述性质：(1)

4、ρXY

5、≦1;证：由柯西一许瓦兹不等式知所以

6、ρXY

7、≦1。(2)

8、ρXY

9、=1存在常数a,b使P{Y=aX+b}=1.意义

10、ρXY

11、=1当且仅当Y跟X几乎有线性

12、关系。这在一定程度上说明了相关系数的概率意义。ρXY并不是刻画X，Y之间的“一般”关系，而只是刻画X，Y之间线性相关的程度。4．计算：(1)用定义求：若X，Y为离散型随机变量若X，Y为连续型随机变量(2)用公式：例1若X、Y的E(X)=-2,E(Y)=4,D(X)=4,D(Y)=9,分别在(1)X、Y相互独立，(2)ρXY=0.5的条件下，求E(Z)=E(3X2-2XY+Y2-3).解：(1)因为X、Y相互独立，所以E(XY)=E(X)E(Y)；E(Z)=E(3X2-2XY+Y2-3)=3E(X2)-2

13、E(X)E(Y)+E(Y2)-3=3[D(X)+[E(X)]2]-2E(X)E(Y)+[D(Y)+[E(Y)]2]-3=62；(2)E(Z)=3[D(X)+[E(X)]2]-2E(XY)+[D(Y)+[E(Y)]2]-3=24-2[Cov(X,Y)+E(X)E(Y)]+25-3=24-2[ρXY+E(X)E(Y)]+25-3=68.例2设=aX+b,=cY+d,(a,c同号),证明：ρ=ρXY。证：5．定义若X与Y的相关系数ρXY=0，则称X与Y不相关。假设随机变量X，Y的相关系数ρXY存

14、在，当X与Y相互独立时,ρXY=0,即X与Y不相关，反之若X与Y不相关，X与Y却不一定相互独立。例1:设(X，Y)在单位圆x2+y2≦1上服从均匀分布，证明：ρXY=0，但X与Y不相互独立。解:(1)(X，Y)的概率密度为关于X的边缘密度为同理，关于Y的边缘密度为容易看到，(1/2,1/2)是fX(x),fY(y),f(x,y)的连续点，但所以X与Y不相互独立。所以D(X)=1/4.同样方法可得E(Y)=0,D(Y)=1/4.于是Cov(X，Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0所以,即X与Y不相关。

15、由相关系数性质(2),ρXY并不是刻画X，Y之间的“一般”关系，而只是刻画X，Y之间线性相关的程度。虽然X，Y不相关，但X，Y可以有关系。例如X～U(-1/2,1/2),Y=cosX,则E(X)=0,因此，ρXY=0，但X，Y有严格的函数关系。那么，是否有特例哪？例2:设(X，Y)～N(μ1,μ2,σ12,σ22,ρ)，求X与Y的相关系数ρXY解:X～N(μ1,σ12),E(X)=μ1,D(X)=σ12；Y～N(μ2,σ22)，E(Y)=μ2,D(X)=σ22；而所以ρXY=ρ。二维正态随机变量的分布

16、完全可由X，Y个别的数学期望、方差以及它们的相关系数所确定。若(X，Y)服从二维正态分布，那么X和Y相互独立的充要条件为ρ=0，而ρ=ρXY，故知对于二维正态随机变量(X，Y)来说，X与Y不相关与X和Y相互独立是等价的。小结：结论1：X与Y相互独立ρXY=0X与Y不相关；反之，ρXY=0不能推出X与Y相互独立。结论2：对任意X与Y，以下结论等价ρXY=0Cov(X，Y)=0E(XY)=E(X)E(Y)D(X+Y)=D(X)+D(