资源描述：
《概率论与数理统计-协方差和相关系数》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、（1）定义：D（X）=1.设C是常数,则D(C)=0;2.若k是常数,则D(kX)=k2D(X);3.若X1与X2独立，则D(X1+X2)=D(X1)+D(X2);复习：方差（2）计算：方法2:方法1：由定义（3）性质：一般地：D(X1+X2)=D(X1)+D(X2)+2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}。(3)泊松分布:(1)(0-1)分布:D(X)=p(1-p)(2)二项分布:D(X)=np(1-p)D(X)=(4)正态分布:(5)均匀分布:D(X)=D(X)=(6)指数分布（4）常见分布的方差：(5)切比雪夫不等式设r.vX具有均值E(X)=,方差D(X)=2，则对>
2、0,有不等式证明:根据数学期望与方差的性质:证明E(Y)=0,D(Y)=1P99T10：设E(X),D(X)均存在,且D(X)≠0通常把由r.vX构造r.vY的过程叫做对r.vX标准化。注意:更重要的是要知道如何将一个随机变量标准化.§3协方差和相关系数Covarianceandcorrelationcoefficient对于一个二维随机向量（X，Y），期望和方差只反映了它们各自的平均取值与相对于其均值的偏离程度，没有反映出X与Y之间的相互关系。D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}注意到公式若X、Y相互独立,D(X+Y)=D(X)+D(Y)。E{[
3、X-E(X)][Y-E(Y)]}=0，可以发现E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}这个数在一定程度上反映了X与Y之间的关系，称为X与Y的协方差。一、协方差1、定义:设(X,Y)是一随机向量，称E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}为X与Y的协方差,记作Cov（X，Y）或XY，即若X、Y相互独立说明①对于r.vX,Y，D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)协方差是刻划r.vX与Y间取值的相互关系的数字特征.显然:②意义:Cov(X,Y)=0,1)用定义式Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}2、计
4、算方法2)用简单公式Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)Cov(X,X)=D(X)YX-10 1-100例1设r.vX和Y的联合分布律为求Cov(X,Y)解：用公式Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)①可求出(X,Y)关于X，Y的边缘分布律X-103/82/83/81Y-103/82/83/81②∴Cov(X,Y)=0-0=0说明：虽然Cov(X,Y)=0，但即X与Y不独立。3、性质ⅰ)Cov(X,Y)=Cov(Y,X);(对称性)ⅱ)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y),a,b是任意常数；ⅲ)Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)注
5、：协方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互间的关系，但它还受X与Y本身的系数影响.例如：Cov(10X,10Y)=100Cov(X,Y)为了克服这一缺点，将协方差标准化，即在计算协方差时，先对X与Y进行标准化.即:实际上，10X与10Y之间的关系和X与Y之间的关系应一致。标准化的协方差称为X，Y的相关系数二、相关系数(correlationcoefficient)设(X,Y)是一随机向量，当D(X)>0,D(Y)>0,则称数值为X,Y的线性相关系数，简称相关系数.注：1、定义:⑴相关系数也就是标准化的随机变量X*，Y*的协方差。⑵ρXY是没有单位的量，只与两个r.v有关，能更好地反映X
6、与Y之间的关系。2、性质：相关系数刻划了X和Y间“线性相关”的程度.将e视为关于a,b的二元函数，求驻点：解得性质1）成立。对应的误差平方为性质2）证明略。要使Y与X的某个线性函数a+bX最为接近,就是要找a,b使得误差平方e值最小.证：e=E{[Y-(a+bX)]2}=E(Y2)+b2E(X2)+a2-2bE(XY)+2abE(X)-2aE(Y)对任意的a,b,令刻画了Y与a+bX的偏离程度（*）若=0，Y与X无线性关系;Y与X存在线性关系;若若0<
7、
8、<1,
9、
10、的值越接近于1,Y与X的线性相关程度越高;
11、
12、的值越接近于0,Y与X的线性相关程度越弱.ρ=0时，称X和Y不相关。由（*）
13、式知，ρXY的含义说明：1）对于随机变量X,Y，下面事实是等价的2)X与Y相互独立X与Y不相关X与Y不相关,只说明X与Y之间没有线性关系，但可以有非线性关系；但是，对于二维正态分布，独立与不相关等价。即：若二维r.v③E(XY)=E(X)E(Y);即X与Y不相关3、重要结论①Cov(X,Y)=0;②X与Y不相关；则X与Y相互独立④D(X+Y)=D(X)+D(Y).而X与Y独立是指X,Y之间既无线性关系，也无非线性关系，故“独立”必然不相关，但反
