资源描述：
《概率论与数理统计协方差和相关系数02.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、（1）定义：D（X）=1.设C是常数,则D(C)=0;2.若k是常数,则D(kX)=k2D(X);3.若X1与X2独立，则D(X1+X2)=D(X1)+D(X2);复习：方差（2）计算：方法2:方法1：由定义（3）性质：一般地：D(X1+X2)=D(X1)+D(X2)+2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}。(3)泊松分布:(1)(0-1)分布:D(X)=p(1-p)(2)二项分布:D(X)=np(1-p)D(X)=(4)正态分布:(5)均匀分布:D(X)=D(X)=(6)指数分布（4）常见分布的方差：
2、(5)切比雪夫不等式设r.vX具有均值E(X)=,方差D(X)=2，则对>0,有不等式证明:根据数学期望与方差的性质:证明E(Y)=0,D(Y)=1P99T10：设E(X),D(X)均存在,且D(X)≠0通常把由r.vX构造r.vY的过程叫做对r.vX标准化。注意:更重要的是要知道如何将一个随机变量标准化.§3协方差和相关系数Covarianceandcorrelationcoefficient一、协方差若X、Y相互独立说明①对于r.vX,Y，D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)②
3、Cov(X,Y)=0,Cov(X,X)=D(X);Cov(X,k)=0.E(XY)=E(X)E(Y)+Cov(X,Y)对于向量X和Y，期望和方差只反映了变量各自的情况，没有相互之间的关系。若X、Y相互独立,E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}=0，因此E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}在一定程度上反映了X与Y之间的关系，称为X与Y的协方差。1)用定义式Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}2、计算方法2)用简单公式Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)为X与Y的协方差,记作
4、Cov（X，Y），即设(X,Y)是一随机向量，称E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}1、定义:YX-10 1-100例1设r.vX和Y的联合分布律为求Cov(X,Y)解：用公式Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)①可求出(X,Y)关于X，Y的边缘分布律X-103/82/83/81Y-103/82/83/81②∴Cov(X,Y)=0-0=0说明：虽然Cov(X,Y)=0，但即X与Y不独立。3、性质ⅰ)Cov(X,Y)=Cov(Y,X);(对
5、称性)ⅱ)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y),a,b是任意常数；ⅲ)Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)注：协方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互间的关系，但它还受X与Y本身的系数影响.例如：Cov(10X,10Y)=100Cov(X,Y)为了克服这一缺点，在计算协方差时，先对X与Y进行标准化.即:实际上，10X与10Y之间的关系和X与Y之间的关系应一致。标准化的协方差称为X，Y的相关系数二、相关系数(correlationcoefficient)设(X,Y)是一随机
6、向量，当D(X)>0,D(Y)>0,则称数值为X,Y的线性相关系数，简称相关系数.注：1、定义:⑴相关系数是标准化的随机变量X*，Y*的协方差。⑵ρXY没有单位，只与两个r.v有关，能更好地反映X与Y之间的关系。2、性质：相关系数刻划了X和Y间“线性相关”的程度.将e视为关于a,b的二元函数，求驻点：解得（*）1）成立。2）成立。要使Y与某个a+bX最为接近,就是要找a,b使得误差平方e值最小.证：e=E{[Y-(a+bX)]2}=E(Y2)+b2E(X2)+a2-2bE(XY)+2abE(X)-2aE(
7、Y)对任意的a,b,令刻画了Y与a+bX的偏离程度若=0，Y与X无线性关系;Y与X存在线性关系;若若0<
8、
9、<1,ρ=0时，称X和Y不相关。由（*）式知，ρXY的含义说明：
10、
11、越接近于1,e的值越小,则Y与X的线性相关程度越高;
12、
13、越接近于0,e的值越大,则Y与X的线性相关程度越低;1）对于随机变量X,Y，下面事实是等价的2)X与Y相互独立X与Y不相关X与Y不相关,只说明X与Y之间没有线性关系，但可以有非线性关系；但是若二维r.v③E(XY)=E(X)E(Y);即X与Y不相关3、重要结论①Cov(X,Y)
14、=0;②X与Y不相关；则X与Y相互独立④D(X+Y)=D(X)+D(Y).而X与Y独立是指X,Y之间既无线性关系，也无非线性关系，故“独立”必然不相关，但反之不然。例2设随机变量(X,Y)的概率密度函数为证明:先求边缘概率密度函数fY(y)同理所以f(x,y)fX(x)fY(y)故X与Y不独立验证X与Y不相关,且不相互独立。-1１Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0即X与Y不相关三、几个常用的数字特征1、矩(m
