概率论与数理统计(协方差及相关系数、矩)

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1、4.3协方差及相关系数、矩对于二维随机变量(X，Y)，除了讨论X与Y的数学期望和方差外，还需讨论描述X与Y之间相互关系的数字特征：协方差和相关系数．4.3.1协方差由4.2.2中方差的性质(3)知,若随机变量X与Y相互独立,则D(X+Y)=D(X)+D(Y),也就是说,当随机变量X与Y相互独立时,有E{[X–E(X)][Y–E(Y)]}=0成立,这意味着当E{[X–E(X)][Y–E(Y)]}0时,X与Y不相互独立,由此可见这个量的重要性．4.3.1协方差定义4.4设有二维随机变量(X，Y)，如果E{[X–E(X)][Y–E(Y)]}存在，则称其为随机变量X与Y的协方差．

2、记为Cov(X，Y)，即Cov(X，Y)=E{[X–E(X)][Y–E(Y)]}这样，上节中方差的性质(3)可改写为D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y)由(4.9)式及(4.10)式知协方差的表达式可以表示为Cov(X，Y)=E(XY)–E(X)E(Y)常利用这个式子来计算协方差Cov(X，Y).4.3.1协方差由协方差定义，不难知道协方差还具有以下几条性质：(1)(2)(3)，a，b为常数；(4)(5)当随机变量X与Y相互独立时，有Cov(X，Y)=0．4.3.1协方差【例4.22】设随机变量(X，Y)具有概率密度其中区域G由曲线与围成，如图4-4所示，求

3、Cov(X，Y)及D(X+Y)．解：4.3.1协方差§4.3协方差及相关系数、矩4.3.2相关系数定义4.5称为随机变量X与Y的相关系数．相关系数XY是一个无量纲的量．XY常简记为．【例4.23】在例4-22中，求相关系数XY．解：因为所以4.3.2相关系数4.3.2相关系数下面不加证明地给出相关系数的两条性质：(1)

4、XY

5、1；(2)

6、XY

7、=1的充要条件是，存在常数a，b，使P{Y=aX+b}=1．定义4.6若XY=0，称X与Y不相关．0<XY1，称X与Y正相关，–1XY<0，称X与Y负相关．事实上,相关系数XY是X与Y线性关系强弱的一个度量,

8、X与Y的线性关系程度随着

9、XY

10、的减小而减弱,当

11、XY

12、=1时X与Y的线性关系最强，当XY=0时，意味X与Y的不存在线性关系，即X与Y不相关.4.3.2相关系数由协方差的性质(5)当随机变量X与Y相互独立时，有Cov(X，Y)=0．易知定理4.3若X与Y相互独立，则XY=0，即X与Y不相关，反之不真．这意味着，X与Y不相关仅指X与Y之间不存在线性关系，并不能说明X与Y不具有其他关系．4.3.2相关系数【例4.24】设随机变量Z服从(–，)上的均匀分布，又X=sinZ，Y=cosZ，试求相关系数XY．解：由于因而Cov(X，Y)=0，XY=0．相关系数XY=

13、0，说明随机变量X与Y不相关，但是，由于，所以X与Y不独立．4.3.3矩矩的概念在后面的数理统计部分有重要应用．定义4.7设X和Y是随机变量，若E(Xk)，k=1，2，…存在，称其为X的k阶原点矩，简称k阶矩；若存在，称其为X的k阶中心矩；若存在，称其为X和Y的k+l阶混合矩；若存在，称它为X和Y的k+l阶混合中心矩．4.3.3矩(1)X的k阶原点矩:E(Xk)，k=1，2，…(2)X的k阶中心矩:(3)X和Y的k+l阶混合矩:(4)X和Y的k+l阶混合中心矩:显然，X的数学期望E(X)是X的一阶原点矩，X的方差D(X)是X的二阶中心矩，X和Y的协方差Cov(X,Y)=0是

14、X和Y的二阶混合中心矩．【实验4-2】设X和Y分别表示在一分钟内通过某收费站的小汽车数量和卡车数量，X和Y的联合分布律如下：(1)期望E(X)、E(Y)、E(XY)(2)方差D(X)、D(Y)(3)协方差Cov(X，Y)(4)相关系数XYYX0123400.050.040.010010.050.10.030.02020.030.050.150.050.02300.020.080.10.054000.020.050.08实验准备：(1)函数SUMPRODUCT的使用格式：SUMPRODUCT(array1,array2,array3,...)功能：返回多个区域array1,

15、array2,array3,...对应数值乘积之和．(2)函数MMULT的使用格式：MMULT(array1,array2)功能：返回两数组的矩阵乘积．结果矩阵的行数与array1的行数相同，列数与array2的列数相同．实验步骤：(1)整理数据如图4-5所示．图4-5整理数据(2)计算边缘概率P{X=xi}和P{Y=yj}在单元格G2中输入公式：=SUM(B2:F2)，并将其复制到单元格区域G3:G6在单元格B7中输入公式：=SUM(B2:B6)，并将其复制到单元格区域C7:F7(3)计算期望E(XY)首先在单元