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1、§4.3协方差.相关系数与矩D(X＋Y)=D(X)＋D(Y)+2E{[X－E(X)][Y－E(Y)]}D(X－Y)=D(X)＋D(Y)－2E{[X－E(X)][Y－E(Y)]}当研究的问题涉及多个随机变量的时候,变量与变量之间的关系,是必须关注的一个方面.本节介绍的协方差、相关系数就是描述随机变量之间相互关系的数字特征.定义4.3.1若E{[X－E(X)][Y－E(Y)]}存在，称Cov(X,Y)=E{[X－E(X)][Y－E(Y)]}为随机变量(X,Y)的协方差.有D(X)=Cov(X,X)；一.协方差
2、D(X士Y)=D(X)+D(Y)士2Cov(X,Y)协方差的性质：1.Cov(X,Y)＝Cov(Y,X)；3.Cov(X1+X2,Y)＝Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y).常用计算公式：cov(X,Y)＝E(XY)－E(X)E(Y)例4.3.1例4.3.22.Cov(aX,bY)＝abCov(X,Y),a,b是常数；二、相关系数定义4.3.2设二维随机变量X,Y的D(X)>0,D(Y)>0,称为随机变量X与Y的相关系数.注1）ρXY是一无量纲的量.2）标准化随机变量的协方差性质设随机变量X,Y的相关系
3、数ρ存在，则1）
4、ρ
5、1;2）
6、ρ
7、＝1X与Y依概率为1线性相关.即证明相关系数是衡量两个随机变量之间线性相关程度的数字特征.练习将一枚硬币重复抛掷n次,X,Y分别表示正面朝上和反面朝上的次数，则ρXY＝－1注1若随机变量X,Y的相关系数ρXY存在,2）ρXY＝-1，则α<0称X,Y负相关；1）若ρXY＝1，3）ρXY＝0，称X,Y不相关.注2ρXY＝0仅说明X,Y之间没有线性关系，但可以有其他非线性关系.参见讲义P114例4.4.4中的α>0,称X,Y正相关；定理4.3.1若随机变量X与Y相互独立，则
8、X与Y不相关，即有ρXY＝0.注2若(X,Y)~N(μ1,σ21;μ2,σ22;ρ),则X,Y相互独立ρXY＝0.注1此定理的逆定理不成立,即由ρXY＝0不能得到X与Y相互独立.例4.3.3参见P116例4.4.6例4.3.5例4.3.4定义4.3.3设n维随机变量(X1,X2,…,Xn)的协方差均存在,称矩阵为(X1,X2,…,Xn)的协方差矩阵.Cij=Cov(Xi,Xj)其中有Cov(X,Y)=E{[X－E(X)][Y－E(Y)]}D(X)=cov(X,X)三、协方差矩阵的性质例4.3.63）C是非
9、负定矩阵；对称阵四.矩定义4.3.4设X为随机变量,若E(
10、X
11、k)<+∞,称γk=E(Xk)k=1,2,3…..为X的k阶原点矩.称αk=E(
12、X
13、k),k=1,2,3…..为X的k阶绝对原点矩.定义4.3.5设X为随机变量,若E[
14、X－E(X)
15、k]<+∞,称μk=E{[X－E(X)]k}k=1,2,3…..为X的k阶中心矩.称βk=E[
16、X－E(X)
17、k]k=1,2,3…..为X的k阶绝对中心矩.其中D(X)=E{[X－E(X)]2}=E(X2)－[E(X)]2注意到μ2=D(X),γ1=E(X),
18、γ2=E(X2)更一般的,因μ1=0,可得数学期望线性性质随机变量的矩是数！！！例4.3.1(X,Y)在以原点为圆心的单位圆内服从均匀分布故Cov(X,Y)=E(XY)－E(X)E(Y)=E(XY）求Cov(X,Y).解因例4.3.2设随机变量相互独立同分布，且其方差为，令计算协方差解1）
19、ρ
20、1定理证明2）
21、ρ
22、＝1X与Y依概率为1线性相关，即或者例4.3.3(X,Y)在以原点为圆心的单位圆内服从均匀分布已计算得Cov(X,Y)=0.随机变量不相关不一定相互独立!当x2+y2≤1,例4.3.4
23、设二维随机变量（X,Y）在矩形G={(x,y)
24、0≤x≤2，0≤y≤1}上服从均匀分布．记求ρUV.GxyO关键是求E(UV)可先求出UV分布律.解由已知可得GxyO例4.3.5某集装箱中放有100件产品,其中一、二、三等品分别为80、10、10件.现从中任取一件，记关键是求E(X1X2)求出X1X2分布律需求解由已知可得E(X1X2)=1×P{X1X2=1}＋0×P{X1X2=0}=1×0＋0×1=0例4.3.6设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为求:(X,Y)的协方差矩阵。分析计算(X,Y)的
25、协方差矩阵,本质上就是计算X、Y的方差和协方差.解先计算E(X),E(Y)为计算方差,再计算E(X2),E(Y2)得到为计算协方差,计算E(XY)得到Cov(X,Y)于是,(X,Y)的协方差矩阵为例4.3.7设随机变量X、Y相互独立,X~N(1,2),Y~N(0,1),求Z=2X－Y+3的概率密度。解Z是相互独立的正态分布随机变量X、Y的线性组合,故Z也服从正态分布;计算Z的均值和方差,有E(Z)=2E(X)－E(Y)+3=2
