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《概率论与数理统计4-3协方差及相关系数.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、刻划两个随机变量间线性相关程度的数字特征§3协方差与相关系数一、协方差E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}1.定义设有两个随机变量两个X和Y，若E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}存在，则称E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}r.vX与Y的协方差，记为Cov(X,Y),即Cov(X,Y)=+E(X)E(Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)Cov(X,Y)=0.若X与Y独立，例1设随机变量X,Y的联合分布律为求Cov(X,Y).XY-101-101P{X=i}1P{Y
2、=j}X,Y的边缘分布律为解E(X)=0E(Y)=0XY-101-101E(XY)=Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)E(X)=0E(Y)=0XY-101-101例2设随机变量X,Y的联合概率密度为求Cov(X,Y)E(X)解E(XY)=E(Y)E(X)Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)(2)Cov(X,Y)=Cov(Y,X)2.协方差的性质(3)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)⑴Cov(X,X)=D(X)a,b是常数(4)Cov(c,X)=0c是常数(5)Cov(X1+X2,Y)=(6)D
3、(X+Y)=例如：Cov(kX,kY)=为了克服这一缺点，协方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互间的关系，但它还受X与Y本身度量单位的影响,k2Cov(X,Y)这就引入了相关系数.对协方差进行标准化，二、相关系数为随机变量X和Y的相关系数.在不致引起混淆时，记为.定义:设(X,Y)是一个二维随机变量，且D(X)>0,D(Y)>0,则称记为即Cov(X,Y)=0例3设随机变量X,Y的联合分布律为XY-101-101求=0解例4设随机变量X,Y的联合概率密度为求E(Y)E(X)D(X)D(Y)解例4设随机变量X,Y的联合概率密度为求Cov(X,Y)相关系数的性质：
4、由方差的性质和协方差的定义知,对任意实数a,有D(Y-aX)令，则上式为D(Y-aX)=证:0≤=D(Y)+a2D(X)-2aCov(X,Y)D(Y-aX)相关系数的性质：由方差的性质和协方差的定义知,对任意实数a,有证:0≤即2.X和Y独立时，=0，但其逆不真.由于当X和Y独立时，故=0但由并不一定能推出X和Y独立.Cov(X,Y)=0.X和Y独立即若(X,Y)服从二维正态分布，则则称X和Y不相关.X和Y独立X和Y独立X和Y不相关X和Y不相关X与Y独立X与Y不相关说明：独立与不相关不等价事实上，X的密度函数例设X服从(-1/2,1/2)内的均匀分布,而Y=co
5、sX,求即X和Y不相关.但Y与X有严格的函数关系.X与Y不相关并不表示它们之间没有关系。四、小结这一节我们介绍了协方差、相关系数、相关系数是刻划两个变量间线性相关程度的一个重要的数字特征.注意独立与不相关并不是等价的.当(X,Y)服从二维正态分布时，有X与Y独立X与Y不相关
