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《概率论与数理统计3.3 连续型随机变量函数的密度函数》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第三节连续型随机变量函数的密度函数复习:变限积分的求导公式若a为常数,则若b为常数?1根据分布函数的定义一.一维随机变量函数的密度函数目标:设X为一个连续型随机变量，其概率密度函数为f(x)。y=g(x)为一个连续函数(分段严格单调)，求随机变量Y=g(X)的密度函数.基本方法(分布函数求导法),分2个步骤:(1)求Y的分布函数(2)对求导，21.是严格单调且可导的函数.1).定理3.1.设而是严格单调且且处处可导的,设是g的反函数,则是连续型随机变量,其密度函数为其中其实就是变限积分求导3证明4推论.如果Y=aX+b,则Y的密度函数为特别的,对于正
2、态分布,设我们有更一般的,则5解先求分布函数FY(y)。设随机变量X服从正态分布求的概率密度。当时，所以，请同学自己用分布函数求导法证明!6当时，所以，7解体积的分布函数为例设球的半径X的概率密度为试求体积的概率密度。所以体积的概率密度为严格单调递增函数8所以体积的概率密度为即代入f(x).9练习设圆的半径X服从区间(1,2)上的均匀分布，求圆面积的分布密度函数。答案：10例题1,…此类问题的基本做法:先确定Y的取值范围,其密度函数在此范围外的取值为零,对此范围内用公式法或者分布函数求导法,最后写出函数.以下练习:11练习题:12定理3.2若随机变量
3、X和随机变量Y=g(X)的密度函数分别为fX(x),fY(y),当g(x)在不相重叠的区间I1，I2，…,Ik上是严格单调函数且可导，则其中为在Ii上的反函数2.分段严格单调可导函数最好不要套用定理,还是由”分布函数求导法”来求解!13例设X~N（0，1），其概率密度为：则概率密度函数为：此时称Y服从自由度为1的-分布,记作结论：若,则14解因此对于首先注意到则有对不是单调的，但却是分段单调的。是单调下降的，是单调上升的，1).公式法(自己看)152).分布函数求导法:因此对首先当时,有对其求导,所以,16若结果怎样?17例3.15(3).设X的密度
4、函数求的密度函数.解.因为所以只要考虑当时,求导,得18当时,求导,得故19解题步骤:20设是二维连续型随机变量,其联合分布密度为则是一维的连续型随机变量?????其分布函数为是二元连续函数，其分布密度函数为二.多维随机变量函数的密度函数基本步骤(分布函数求导法)211).如果(X,Y)的联合分布密度函数为f(x,y)，则Z=X+Y的分布密度函数为或特别地，当X,Y相互独立时，有卷积公式或1.和的分布22证明.设(X,Y)的密度函数为f(x,y),则Z=X+Y的分布函数为所以,对z求导,令对f(x,y)沿着x+y=z积分对于相互独立的X,Y,则23例
5、3.16如果X与Y相互独立记住结论,证明过程感兴趣自己看.进一步,24例3.17如果在小于0上取0值,则积分都是类似的,卷积的积分限限制到(0,z).25当时,解当时,所以练习题.X,Y相互独立,且都服从参数为的指数分布,求Z=X+Y的密度函数.2627282.例3.18设X,Y相互独立,N(0,1),求Z的密度函数.例3.14自由度为1的分布,例3.18自由度为2的分布.如果随机变量是n个相互独立的标准正态分布的平方和,则其是自由度为n的分布.293.若(X,Y)的密度函数为f(x,y),则Z的密度函数为沿着yz=x,对y积分.304.极大值和极小
6、值的分布设相互独立,令希望得到的分布.31若为同分布,则而而32两个非同分布独立随机变量情形:33其它类型34例设二维随机变量（X,Y）的概率密度为求随机变量Z=X+2Y的密度函数.解所求分布函数为分布密度函数为35练习题3637
