连续型随机变量的概率密度函数

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1、§2.3连续型随机变量的概率密度连续型随机变量的概念与性质一些常用的连续型随机变量1一、连续型随机变量的概念与性质定义如果对于随机变量X的分布函数F(x)，存在非负函数f(x)，使得对于任意实数x，有则称X为连续型随机变量，其中函数f(x)称为X的概率密度函数,简称概率密度.连续型随机变量记为：X~f(x)，其图象称为密度曲线。说明：连续型随机变量的分布函数为连续函数。2概率密度f(x)具有以下性质：f(x)0x1f(x)x0前两个条件是概率密度的充分必要条件X落在(x1,x2]上概率是概率密度在(x1,x2]上的定积分值。连续型随机变量3事实上，既有5

2、.设X是连续型随机变量,则对任意的实数a,有连续型随机变量注意:连续型随机变量密度函数的性质与离散型随机变量分布律的性质非常相似，但是密度函数不是概率！4说明：由上述性质可知，对于连续型随机变量，我们关心它在某一点取值的问题没有太大的意义；我们所关心的是它在某一区间上取值的问题．此公式非常重要！若已知连续型随机变量X的密度函数为f(x),则X在任意区间G(G可以是开区间,也可以是闭区间;可以是有限区间,也可以是无穷区间)上取值的概率为连续型随机变量5例1设X是连续型随机变量，其密度函数为解⑴由密度函数的性质,有连续型随机变量6例2某电子元件的寿命X（小时

3、）是以为密度函数的连续型随机变量．求5个同类型的元件在使用的前150小时内恰有2个需要更换的概率.解设A={某元件在使用的前150小时内需要更换}设Y表示5个元件中使用寿命不超过150小时的元件数，则故所求概率为检验5个元件的使用寿命可以看作是在做一个5重Bernoulli试验连续型随机变量7例3设随机变量X的密度函数为连续型随机变量8例3（续）连续型随机变量9例4设有随机变量X的概率密度函数为求1)A值.解2）X的分布函数.3）P{1.5

4、布定义若随机变量X的密度函数为记作X~U[a,b]abxF(x)01X的分布函数为：连续型随机变量则称随机变量X服从区间[a,b]上的均匀分布.11显然，分布函数随机变量12均匀分布的概率背景XXabllx0连续型随机变量如果随机变量X服从区间[a,b]上的均匀分布,则随机变量X在区间[a,b]上任意一个子区间上取值的概率与该区间的长度成正比,与该区间的位置无关.此时可认为随机变量X在区间[a,b]上取值是等可能的.13例5设公共汽车站从上午7时起每隔15分钟来一班车,如果某乘客到达此站的时间是7:00到7:30之间的均匀随机变量．试求该乘客候车时间不超

5、过5分钟的概率．解：令：B={候车时间不超过5分钟},则连续型随机变量乘客到达此站的时间是7:00到7:30之间的均匀随机变量设该乘客于7时X分到达此站,X服从区间[0,30]上的均匀分布．14例6解随机变量Y的密度函数为：连续型随机变量152.指数分布定义若随机变量X的密度函数为记为：其分布函数为说明指数分布常用于近似表示“寿命”分布，如：服务时间，某消耗品的寿命，放射性元素的衰变期等，指数分布在排队论与可靠性理论中有广泛的应用。连续型随机变量16例7令：B={等待时间为10~20分钟},则连续型随机变量设打一次电话所用的时间X(分钟)是服从参数为λ=

6、1/10的指数分布.如果某人刚好在你前面走进公用电话间,求你需要等待10~20分钟的概率.X的密度函数为X(分钟)是服从参数为λ=1/10的指数分布173.正态分布0xf(x)(1)概率密度函数连续型随机变量如果连续型随机变量X的概率密度函数为(其中(-∞<μ<+∞,σ>0),则称随机变量X服从参数为μ,σ2的正态分布,由称高斯分布.记为:X~N(μ,σ2)18特别是,当μ=0,σ2=1时称正态分布为标准正态分0xf(x)其图形如右连续型随机变量布.记为:N(0,1)标准正态分布的概率密度函数为:19密度函数的验证只验证见高等数学（下）二重积分连续型随机

7、变量20由正态分布密度函数的图形知：xf(x)0连续型随机变量(1)曲线关于直线x=μ对称,这表明：对任意的h>0,有(2)当x=μ时,f(x)取到最大值21连续型随机变量(3)曲线y=f(x)在x=μ+σ,x=μ-σ时处有拐点;曲线以x轴为渐近线.(4)若σ固定,改变μ的值,则y=f(x)的图形沿x轴平行移动,但图形的形状不改变.(5)若μ固定,改变σ的值,当σ越小,则y=f(x)的图形越陡,即X落在μ值附近的概率越大;反之,当σ越大,则y=f(x)的图形越平缓,表明X取值越分散.xf(x)022（2）分布函数且有连续型随机变量23x0x-x证明：由公

8、式有，分布函数随机变量作变换t=-μ，dt=-dμ得24说明(2)对于任何实数x