连续型随机变量及概率密度

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1、Chapter2(2)连续型随机变量及概率密度教学要求：1.理解连续型随机变量的概率密度及性质;2.掌握正态分布、均匀分布和指数分布;3.会应用概率密度计算有关事件的概率.一、连续型随机变量的概率密度连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间,对这种类型的随机变量,不能象离散型随机变量那样,以指定它取每个值概率的方式,去给出其概率分布,而是通过给出所谓“概率密度函数”的方式.1.连续型r.v及其密度函数的定义2.概率密度函数的性质这两条性质是判定一个函数f(x)是否为某r.vX的概率密度函数的充要条件.f(x)xo面积为1注意:(1)F(x)为连续函数;(2)概率为0

2、的事件，不一定是不可能事件；同样地概率为1的事件，不一定是必然事件.(3)对于连续型随机变量，求区间上的概率时可以不考虑端点的情况，而离散型随机变量得特别注意.(4)可由分布函数求分布密度，对于不存在的点可人为的补充定义.ex1.设X的分布函数为求X的分布密度解而端点处情况可人为规定.ex2.设随机变量X的密度函数为解二、几种常用的连续型分布1.均匀分布若r.vX的概率密度为：则称X服从区间(a,b)上的均匀分布，记作：X～U(a,b)它的实际背景是：r.vX取值在区间(a,b)上，并且取值在(a,b)中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比.则X具有(a,b)

3、上的均匀分布.其分布函数为:2.指数分布若r.vX的概率密度为：其分布函数为:指数分布常用于可靠性统计研究中，如元件的寿命.ex4.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间(以分计)服从指数分布，其密度函数为某顾客等待时间超过10分钟，他就离开.一个月他去银行5次.以X表示一个月内他未等到服务而离去的次数，写出X的分布律并求解以Y表示顾客在某银行的窗口等待服务的时间，则顾客未等到服务而离去的概率为三、正态分布1.正态分布的定义如果连续型随机变量X的概率密度为称X服从标准正态分布.2.正态分布的分布函数由于是概率密度函数，因此.从而,有上述两个式子请熟练掌握，它在以后的计算

4、中经常用到．3.正态分布的简单性质证另外还有几个重要公式：证注意用于利用标准正态分布表计算事件的概率.分布密度函数图形中,σ越大,曲线越平坦;σ越小,曲线越尖陡.4.分位点说明:解同理,可见,服从正态分布的随机变量X，虽然理论上可以取任意实数值，但实际上它的取值落在区间内的概率约为68.26%;落在区间内的概率约为95.44%,落在区间内的概率99.74%.因此,服从正态分布的随机变量X落在区间之外的概率约0.26%,还不到千分之三，这是一个小概率事件，在实际中认为它几乎不可能发生，这就是著名的“”准则．它在实际中常用来作为质量控制的依据．在自然现象和社会现象中,

5、大量的随机变量都服从或近似服从正态分布，如，测量误差、炮弹落点距目标的偏差、海洋波浪的高度、一个地区的男性成年人的身高及体重、考试的成绩等．正是由于生活中大量的随机变量服从或近似服从正态分布，因此，正态分布在理论与实践中都占据着特别重要的地位．解四、注意事项及课堂练习注意区别以下概念：离散型：概率分布、分布律连续型：概率密度、分布密度、密度函数Theend