连续型随机变量及其概率密度ok

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1、连续型随机变量及其概率密度1连续型随机变量及其概率密度函数2常见的连续型随机变量连续型随机变量及其概率密度函数定义：设X是一随机变量，若存在一个非负可积函数f(x)使得其中F(x)是它的分布函数．则称X是连续型随机变量，f(x)是它的概率密度函数(p.d.f.)，简称为密度函数或概率密度．xf(x)xF(x)分布函数F(x)与密度函数f(x)的几何意义概率密度函数(p.d.f.)f(x)的性质1、2、常利用这两个性质检验一个函数能否作为连续性随机变量的密度函数，或求其中的未知参数.3、在f(x)的连续点处，f(x)描述了X在x附近单位长度的区间内取值

2、的概率.注意:对于连续型随机变量X,P(X=a)=0这里a可以是随机变量X的一个可能的取值.命题:连续型随机变量取任一常数的概率为零.事实上对于连续型随机变量Xbxf(x)axf(x)a例1设随机变量具有概率密度函数试确定常数A，以及的分布函数.解:由知A=3，即而的分布函数为例2一个靶子是半径为2米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶，以X表示弹着点与圆心的距离，试求随机变量X的分布函数．解:综上所述，随机变量X的分布函数为1均匀分布(a,b)上的均匀分布记作2常见的连续型随机变量若X的密度函数为，则称X

3、服从区间其中X的分布函数为即X的取值在(a,b)内任何长为d–c的小区间的概率与小区间的位置无关,只与其长度成正比.这正是几何概型的情形.在进行大量数值计算时，如果在小数点后第k位进行四舍五入，则产生的误差可以看作服从应用场合:例3设随机变量X服从(1,6)上的均匀分布，求一元两次方程t2+Xt+1=0有实根的概率.解:故所求概率为:而X的密度函数为:因此所求概率：2正态分布若X的密度函数为则称X服从参数为,2的正态分布记作X～N(,2)为常数，f(x)的性质：(1)图形关于直线x=对称：f(+x)=f(-x)(2)在x=时,f(x)

4、取得最大值:(3)在x=±时,曲线y=f(x)在对应的点处有拐点(4)曲线y=f(x)以x轴为渐近线(5)曲线y=f(x)的图形呈单峰状.f(x)的两个参数：—位置参数即固定,对于不同的,对应的f(x)的形状不变化，只是位置不同.—形状参数固定，对于不同的，f(x)的形状不同.若1<2则x=2所对应的拐点更靠近直线x=.附近值的概率更大.x=1所对应的拐点比前者取正态分布的密度曲线是一条关于对称的钟形曲线。特点是“两头小，中间大，左右对称”。决定了图形的中心位置，决定了图形中峰的陡峭程度。应用场合:若随机变量X受到

5、众多相互独立的随机因素的影响，而每一个别因素的影响都是微小的，且这些影响可以叠加,则X服从正态分布.可用正态变量描述的实例非常之多：各种测量的误差；人的生理特征；工厂产品的尺寸；农作物的收获量；海洋波浪的高度；金属线的抗拉强度；热噪声电流强度；学生们的考试成绩；正态分布是概率论中最重要的分布，这可以由以下情形加以说明：⑴正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之一，大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布的．可以证明，如果一个随机指标受到诸多因素的影响，但其中任何一个因素都不起决定性作用，则该随机指标一定服从或近似服从正态分布．⑵正态分布有许多良好的

6、性质，这些性质是其它许多分布所不具备的．⑶正态分布可以作为许多分布的近似分布．正态分布的重要性:标准正态分布的计算：一种重要的正态分布：N(0,1)—标准正态分布-xx对一般的正态分布：X～N(,2)其分布函数作变量代换设X~N(1,4),求P(0X1.6)解:P352表2例4例5已知且P(20为常数对于任意的0

7、b,应用场合:用指数分布描述的实例有：随机服务系统中的服务时间电话问题中的通话时间无线电元件的寿命动物的寿命指数分布常作为各种“寿命”分布的近似例6令：B={等待时间为10-20分钟}4伽玛分布设随机变量X，若X的密度函数为则称X服从参数为的伽玛（Gamma）分布,简称为分布,注:伽玛函数具有性质：5威布尔分布(自学)6截尾分布(自学)设测量的误差X～N(7.5,100)(单位：米),问要进行多少次独立测量,才能使至少有一次误差的绝对值不超过10米的概率大于0.9?解:设A表示进行n次独立测量至少有一次误差的绝对值不超过10米n>3所以至少要进行4次

8、独立测量才能满足要求.课堂练习