8 连续型密度函数 连续型随机变量分布

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1、概率密度及其性质指数分布均匀分布正态分布与标准正态分布2连续型随机变量退出前一页后一页目录一、连续型随机变量的概念与性质1)定义如果对于随机变量X的分布函数F(x)，存在非负函数f(x)，使得对于任意实数x，有则称X为连续型随机变量，其中函数f(x)称为X的概率密度函数,简称概率密度.退出前一页后一页目录xf(x)x0F(x0)分布函数与密度函数几何意义密度函数f(x):曲边梯形的高.分布函数F(x0):表示以区间(-∞,x0)为底边,以f(x)为高的曲边梯形的面积由定义知道，概率密度f(x)具有以下性质：f(x)0x1f(x)x0退出前一页后一页目录

2、前两个条件是概率密度的充分必要条件即退出前一页后一页目录50连续型随机变量的分布函数在实数集Ｒ上处处连续注意退出前一页后一页目录说明(1)由上述性质可知，对于连续型随机变量，我们所关心的概率是指是它在某一区间上取值的概率（而不是在某些点的概率）．退出前一页后一页目录(2)(3)即某区间是否包括端点以及包括多少个端点，对于一个连续型随机变量在该区间取值的概率没有影响．（为什么？对于离散型随机变量呢？）例1设X是连续型随机变量，其密度函数为解：⑴由密度函数的性质退出前一页后一页目录退出前一页后一页目录例2退出前一页后一页目录退出前一页后一页目录退出前一页后

3、一页目录1=退出前一页后一页目录例3某电子元件的寿命X（单位：小时）是以为密度函数的连续型随机变量．求5个同类型的元件在使用的前150小时内恰有2个需要更换的概率.设A={某元件在使用的前150小时内需要更换}§4连续型随机变量的概率密度第二章随机变量及其分布退出前一页后一页目录解：例3（续）检验5个元件的使用寿命可以看作是在做一个5重Bernoulli试验．设Y表示5个元件中使用寿命不超过150小时的元件数，§4连续型随机变量的概率密度第二章随机变量及其分布故所求概率为退出前一页后一页目录思考题：前面说过，连续型随机变量X的所有可能取值是某个区间上的

4、所有点，这意味着在某次试验中，X有可能在该区间上的某一点a取值，而我们又说过，连续型随机变量在任意一个孤立点的取值概率为0。如何解释这个“矛盾”？答案：概率为零事件不等于不可能事件A是不可能事件P(A)=0下面的例子可以说明这个问题例一个靶子是半径为2米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶，以X表示弹着点与圆心的距离.则命中半径为同心圆盘上的点的概率为：X退出前一页后一页目录显然，当　　　时，意味着“命中靶心”这个事件的概率为０，但在实际射击当中，“命中靶心”这个事件是有可能发生的．此例子说明了：概率为零事件

5、不等于不可能事件二、一些常用的连续型随机变量1)均匀分布若随机变量X的密度函数为记作X~U[a,b]退出前一页后一页目录说明⑴类似地，我们可以定义退出前一页后一页目录例4退出前一页后一页目录退出前一页后一页目录2)指数分布如果随机变量X的密度函数为退出前一页后一页目录例4退出前一页后一页目录一种电子元件的使用寿命X（单位：小时）服从参数为10的指数分布，求其中一个的使用寿命在10到20小时的概率。例4（续）令：B={使用为10~20小时}退出前一页后一页目录3)正态分布xf(x)0退出前一页后一页目录的密度函数为如果连续型随机变量X()()()+¥<<

6、¥-=--xexfx22221smsp()，为参数，其中0>+¥<<¥-sm()正态分布．记作的，服从参数为则称随机变量2smX()2~sm，NX取值的分散程度。的方差，刻画了是所有可能取值的平均值的数学期望，表示是含义：和密度函数中的参数XXXX22)2(.)1(smsm标准正态分布退出前一页后一页目录正态分布密度函数的图形性质x0f(x)退出前一页后一页目录正态分布密度函数的图形性质（续）0xf(x)退出前一页后一页目录§4连续型随机变量的概率密度第二章随机变量及其分布退出前一页后一页目录xf(x)0—位置参数xf(x)0第二章随机变量及其分布退

7、出前一页后一页目录—形状参数正态分布的重要性正态分布是概率论中最重要的分布，这可以由以下情形加以说明：⑴正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之一，大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布的．可以证明，如果一个随机指标受到诸多因素的影响，但其中任何一个因素都不起决定性作用，则该随机指标一定服从或近似服从正态分布．⑵正态分布有许多良好的性质，这些性质是其它许多分布所不具备的．(3)正态分布可以作为许多分布的近似分布．退出前一页后一页目录§4连续型随机变量的概率密度二：正态分布的计算退出前一页后一页目录-101（1）标准正态分布的计算：对应的标准正态分

8、布分布函数为：x0x-x退出前一页后一页目录将求出来。（为什么？）(){}xXPxx£=³F我