2016新课标三维人教A版数学选修2-12.2椭圆.doc

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1、2．2．1　椭圆及其标准方程预习课本P38～42，思考并完成以下问题1．平面内满足什么条件的点的轨迹为椭圆？椭圆的焦点、焦距分别是什么？　　　2．椭圆的标准方程是什么？　　　　1．椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于

2、F1F2

3、)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．[点睛]　定义中的条件2a>

4、F1F2

5、>0不能少，这是根据三角形中的两边之和大于第三边得出来的．否则：①当2a＝

6、F1F2

7、时，其轨迹为线段F1F2；②当2a<

8、F1F2

9、时，其轨迹不存在．2

10、．椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程＋＝1(a>b>0)＋＝1(a>b>0)焦点坐标(－c,0)，(c,0)(0，－c)，(0，c)a，b，c的关系c2＝a2－b21．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到两定点距离之和等于定长的点的轨迹为椭圆(　　)(2)已知椭圆的焦点是F1，F2，P是椭圆上的一动点，如果延长F1P到Q，使得

11、PQ

12、＝

13、PF2

14、，则动点Q的轨迹为圆(　　)(3)方程＋＝1(a>0，b>0)表示的曲线是椭圆(　　)答案：(1)×　(2)√　(3)×2．若椭圆

15、＋＝1的一个焦点坐标为(1,0)，则实数m的值为(　　)A．1　　　　　　　　　B．2C．4D．6答案：C3．椭圆＋＝1的焦点坐标是________．答案：(0，±12)求椭圆的标准方程[典例]　求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)．[解]　(1)因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．将点(5,0)代入上式解得a＝5，又c＝4，所以b2＝a2－c2＝25－16＝9．故

16、所求椭圆的标准方程为＋＝1．(2)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．因为椭圆经过点(0,2)和(1,0)，所以⇒故所求椭圆的标准方程为＋x2＝1．确定椭圆的方程包括“定位”和“定量”两个方面(1)“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；(2)“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解．　　　　　　[活学活用]求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)经过两点(2，－)，；(2)过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同的焦

17、点．解：法一：(分类讨论法)若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．由已知条件得解得所以所求椭圆的标准方程为＋＝1．若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．由已知条件得解得则a2b>0矛盾，舍去．综上，所求椭圆的标准方程为＋＝1．法二：(待定系数法)设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．将两点(2，－)，代入，得解得所以所求椭圆的标准方程为＋＝1．(2)因为所求椭圆与椭圆＋＝1的焦点相同，所以其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16．设它的标准

18、方程为＋＝1(a>b>0)．因为c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16．①又点(，－)在椭圆上，所以＋＝1，即＋＝1．②由①②得b2＝4，a2＝20，所以所求椭圆的标准方程为＋＝1．椭圆的定义及其应用[典例]　如图所示，已知椭圆的方程为＋＝1，若点P在第二象限，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面积．[解]　由已知得a＝2，b＝，所以c＝＝＝1，

19、F1F2

20、＝2c＝2．在△PF1F2中，由余弦定理，得

21、PF2

22、2＝

23、PF1

24、2＋

25、F1F2

26、2－2

27、PF1

28、·

29、F1F2

30、·cos120°，即

31、PF2

32、

33、2＝

34、PF1

35、2＋4＋2

36、PF1

37、．①由椭圆定义，得

38、PF1

39、＋

40、PF2

41、＝4，即

42、PF2

43、＝4－

44、PF1

45、．②将②代入①解得

46、PF1

47、＝．所以S△PF1F2＝

48、PF1

49、·

50、F1F2

51、·sin120°＝××2×＝，即△PF1F2的面积是．(1)椭圆定义的应用中，要实现两个焦点半径之间的相互转化，将两个焦半径之和看作个整体．(2)涉及焦点三角形面积时，可把

52、PF1

53、，

54、PF2

55、看作一个整体，运用

56、PF1

57、2＋

58、PF2

59、2＝(

60、PF1

61、＋

62、PF2

63、)2－2

64、PF1

65、·

66、PF2

67、及余弦定理求出

68、PF1

69、·

70、PF2

71、，而无需单

72、独求解．　　　　　　[活学活用]　设F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上一点，且

73、PF1

74、－

75、PF2

76、＝2．则△PF1F2是(　　)A．钝角三角形　　　　　　B．直角三角形C．锐角三角形D．等腰直角三角形解析：选B　由椭圆的定义得

77、PF1

78、＋

79、PF2

80、＝8．又

81、PF1

82、－

83、PF2

84、＝2，∴

85、PF1

86、＝5，

87、PF2

88、＝3，又