正文描述:《选修2-12.2椭圆》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、选修2-1第二章圆锥曲线与方程2.2椭圆一、知识要点1.椭圆的定义(1)椭圆的两种定义:①(第一定义)平面内到两个定点,的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆,两个定点,叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。②(第二定义)平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1的正常数的点的轨迹。(2)标准方程①焦点在轴上,中心在原点:;焦点,,其中。②焦点在轴上,中心在原点:__________________________________________________,_______________________________
2、_______________________________________________。2.椭圆的简单几何性质(1)对于焦点在轴上,中心在原点,形如的椭圆有以下几何性质:①范围:______________________________________________________________________;②对称性:____________________________________________________________________;③顶点:__________________________________
3、____________________________________;④离心率:_____________________________________________________________________;⑤准线方程:__________________________________________________________________;⑥焦半径公式:为椭圆上任意一点,,为椭圆的左、右焦点,=_________,=__________________。设为椭圆上的一点,,为下、上焦点,则=______________
4、____,=__________________。(2)对于焦点在轴上,中心在原点,形如第7页共6页的椭圆用以上同样的讨论方法可得到相类似的性质。3.焦点三角形与弦(1)椭圆上的点与两焦点构成的称作焦点三角形。如图,。①,当时,即为短轴端点时,最大,且。②,当,即为短轴端点时,最大,且最大值为。(2)焦点弦(过焦点的弦)AB为椭圆的焦点弦,,,弦中点。则弦长,通径最短。(3)椭圆的一般弦AB为椭圆的一般弦,,,弦中点。①弦长。②。第7页共6页③直线AB的方程:____________________________________________
5、_________________。④直线AB的垂直平分线方程:___________________________________________________。4.待定系数法求椭圆方程(1)解决问题的关键是:列方程(组),解方程(组),求待定系数。(2)一般地:如果已知焦点在轴上,可设方程为________________________________;如果已知焦点在轴上,可设方程为_______________________________________;如果焦点的位置不能确定应分类讨论,或设椭圆方程为:_____________
6、_____________________。5.椭圆的几何性质的应用(1)椭圆的几何性质涉及的不等关系;(2)椭圆中有“四线”(两条对称轴,两条准线),“六点”(两个焦点,四个顶点)。(3)点与椭圆的关系:①在椭圆上;②_____________________;③_____________________。6.与椭圆有关的综合问题(1)直线与椭圆位置关系中的常用结论把椭圆方程与直线方程联立消去,整理形成如的形式,对此一元二次方程:①,直线与椭圆有两个公共点、,此时弦长求法:﹒求、两点坐标,利用两点间距离公式;﹒由根与系数关系得到弦长公式;②,直
7、线与椭圆有一个公共点;③,直线与椭圆无公共点。(2)解决直线与椭圆位置关系时一般通过直线与椭圆交点个数进行研究,用一元二次方程的判别式、根与系数的关系、求根公式来处理问题,还要注意数形结合思想的运用。(3)与椭圆有关的最值问题。①建立目标函数,用坐标表示距离,用方程消参转化为一元二次函数的最值问题,关键是由方程求、的范围;第7页共6页②数形结合,用化曲为直的转化思想;③利用判别式,对于二次函数求最值,往往由条件建立二次方程,用判别式求最值;④借助均值不等式求最值。二、典型例题例1.在平面直角坐标系中,椭圆的焦距为2,以O为圆心,为半径的圆,过点作
8、圆的两切线互相垂直,则离心率=______________。例2.设椭圆上一点到其左焦点的距离为3,到右焦点的距离为1,则到右准线的距离
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