高考数学必修知识讲解直线、平面垂直的性质提高.doc

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1、直线、平面垂直的性质【学习目标】1．掌握直线与平面垂直的性质定理，并能解决有关问题；2．掌握两个平面垂直的性质定理，并能解决有关问题；3．能综合运用直线与平面、平面与平面的垂直、平行的判定和性质定理解决有关问题．【要点梳理】要点一、直线与平面垂直的性质1.基本性质文字语言：一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线.符号语言：图形语言：2.性质定理文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行.符号语言：图形语言：3．直线与平面垂直的其他性质（1）若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于

2、这个平面。（2）若于，，则。（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。（4）如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另一个平面。要点诠释：线面垂直关系是线线垂直、面面垂直关系的枢纽，通过线面垂直可以实现线线垂直和面面垂直关系的相互转化。要点二、平面与平面垂直的性质1．性质定理文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.符号语言：图形语言：要点诠释：面面垂直的性质定理是作线面垂直的依据和方法，在解决二面角问题中作二面角的平面角经常用到。这种线面垂直与面面垂直间的相互转化，是我们立体

3、几何中求解（证）问题的重要思想方法。2．平面与平面垂直性质定理的推论如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内。要点三、垂直关系的综合转化线线垂直、线面垂直、面面垂直是相互联系的，能够相互转化，转化的纽带是对应的定义、判定定理和性质定理，具体的转化关系如下图所示：在解决问题时，可以从条件入手，分析已有的垂直关系，早从结论探求所需的关系，从而架起条件与结论的桥梁．垂直间的关系可按下面的口诀记忆：线面垂直的关键，定义来证最常见，判定定理也常用，它的意义要记清．平面之内两直线

4、，两线交于一个点，面外还有一条线，垂直两线是条件．面面垂直要证好，原有图中去寻找，若是这样还不好，辅助线面是个宝．先作交线的垂线，面面转为线和面，再证一步线和线，面面垂直即可见．借助辅助线和面，加的时候不能乱，以某性质为基础，不能主观凭臆断，判断线和面垂直，线垂面中两交线．两线垂直同一面，相互平行共伸展，两面垂直同一线，一面平行另一面．要让面和面垂直，面过另面一垂线，面面垂直成直角，线面垂直记心间．【典型例题】类型一：直线与平面垂直的性质例1．设a，b为异面直线，AB是它们的公垂线（与两异面直线都垂直且相交的直线

5、）。（1）若a，b都平行于平面，求证：AB⊥；（2）若a，b分别垂直于平面，，且，求证：AB∥c。【思路点拨】（1）依据直线和平面垂直的判定定理证明AB⊥，可先证明线与线的平行。（2）由于此时垂直的关系较多，因此可以考虑利用线面垂直的性质证明AB∥c。证明：（1）如图（1），在内任取一点P，设直线a与点P确定的平面与平面的交线为a＇，设直线b与点P确定的平面与平面的交线为b＇。∵a∥，b∥，∴a∥a＇，b∥b＇。又∵AB⊥，AB⊥b，∴AB⊥a＇，AB⊥b＇，∴AB⊥。（2）如图，过B作BB＇⊥，则AB⊥BB＇。

6、又∵AB⊥b，∴AB垂直于由b和BB＇确定的平面。∵b⊥，∴b⊥c，∵BB＇⊥，∴BB＇⊥c。∴c也垂直于由BB＇和b确定的平面。故c∥AB。【总结升华】由第（2）问的证明可以看出，利用线面垂直的性质证明线与线的平行，其关键是构造平面，使所证线皆与该平面垂直。如题中，通过作出辅助线BB＇，构造出平面，即由相交直线b与BB＇确定的平面，然后借助于题目中的其他垂直关系证明。举一反三：【变式1】设，m是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（）A．若⊥m，m，则⊥B．若⊥，∥m，则m⊥C．若∥，m，则∥mD．若

7、∥，m∥，则∥m【答案】B【解析】两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面。高清：空间的线面垂直398999例3例2．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．（1）证明：AE⊥CD；（2）证明：PD⊥平面ABE．【思路点拨】（1）由PA⊥底面ABCD，可得CD⊥PA，又CD⊥AC，故CD⊥面PAC，从而证得CD⊥AE；（2）由等腰三角形的底边中线的性质可得AE⊥PC，由（Ⅰ）知CD⊥AE，从而AE⊥面PCD，A

8、E⊥PD，再由AB⊥PD可得PD⊥面ABE。【解析】（1）证明：在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥PA．又CD⊥AC，PA∩AC=A，∴CD⊥面PAC，∵AE⊂面PAC，故CD⊥AE．（2）证明：由PA=AB=BC，∠ABC=60°，可得PA=AC，∵E是PC的中点，∴AE⊥PC，由（1）知CD⊥AE，从而AE⊥面PCD，故AE⊥PD