高考数学必修知识讲解直线、平面垂直的性质提高.doc

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1、直线、平面垂直的性质【学习目标】1.掌握直线与平面垂直的性质定理,并能解决有关问题;2.掌握两个平面垂直的性质定理,并能解决有关问题;3.能综合运用直线与平面、平面与平面的垂直、平行的判定和性质定理解决有关问题.【要点梳理】要点一、直线与平面垂直的性质1.基本性质文字语言:一条直线垂直于一个平面,那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线.符号语言:图形语言:2.性质定理文字语言:垂直于同一个平面的两条直线平行.符号语言:图形语言:3.直线与平面垂直的其他性质(1)若两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于

2、这个平面。(2)若于,,则。(3)垂直于同一条直线的两个平面平行。(4)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个,则它必垂直于另一个平面。要点诠释:线面垂直关系是线线垂直、面面垂直关系的枢纽,通过线面垂直可以实现线线垂直和面面垂直关系的相互转化。要点二、平面与平面垂直的性质1.性质定理文字语言:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.符号语言:图形语言:要点诠释:面面垂直的性质定理是作线面垂直的依据和方法,在解决二面角问题中作二面角的平面角经常用到。这种线面垂直与面面垂直间的相互转化,是我们立体

3、几何中求解(证)问题的重要思想方法。2.平面与平面垂直性质定理的推论如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线,在第一个平面内。要点三、垂直关系的综合转化线线垂直、线面垂直、面面垂直是相互联系的,能够相互转化,转化的纽带是对应的定义、判定定理和性质定理,具体的转化关系如下图所示:在解决问题时,可以从条件入手,分析已有的垂直关系,早从结论探求所需的关系,从而架起条件与结论的桥梁.垂直间的关系可按下面的口诀记忆:线面垂直的关键,定义来证最常见,判定定理也常用,它的意义要记清.平面之内两直线

4、,两线交于一个点,面外还有一条线,垂直两线是条件.面面垂直要证好,原有图中去寻找,若是这样还不好,辅助线面是个宝.先作交线的垂线,面面转为线和面,再证一步线和线,面面垂直即可见.借助辅助线和面,加的时候不能乱,以某性质为基础,不能主观凭臆断,判断线和面垂直,线垂面中两交线.两线垂直同一面,相互平行共伸展,两面垂直同一线,一面平行另一面.要让面和面垂直,面过另面一垂线,面面垂直成直角,线面垂直记心间.【典型例题】类型一:直线与平面垂直的性质例1.设a,b为异面直线,AB是它们的公垂线(与两异面直线都垂直且相交的直线

5、)。(1)若a,b都平行于平面,求证:AB⊥;(2)若a,b分别垂直于平面,,且,求证:AB∥c。【思路点拨】(1)依据直线和平面垂直的判定定理证明AB⊥,可先证明线与线的平行。(2)由于此时垂直的关系较多,因此可以考虑利用线面垂直的性质证明AB∥c。证明:(1)如图(1),在内任取一点P,设直线a与点P确定的平面与平面的交线为a',设直线b与点P确定的平面与平面的交线为b'。∵a∥,b∥,∴a∥a',b∥b'。又∵AB⊥,AB⊥b,∴AB⊥a',AB⊥b',∴AB⊥。(2)如图,过B作BB'⊥,则AB⊥BB'。

6、又∵AB⊥b,∴AB垂直于由b和BB'确定的平面。∵b⊥,∴b⊥c,∵BB'⊥,∴BB'⊥c。∴c也垂直于由BB'和b确定的平面。故c∥AB。【总结升华】由第(2)问的证明可以看出,利用线面垂直的性质证明线与线的平行,其关键是构造平面,使所证线皆与该平面垂直。如题中,通过作出辅助线BB',构造出平面,即由相交直线b与BB'确定的平面,然后借助于题目中的其他垂直关系证明。举一反三:【变式1】设,m是两条不同的直线,是一个平面,则下列命题正确的是()A.若⊥m,m,则⊥B.若⊥,∥m,则m⊥C.若∥,m,则∥mD.若

7、∥,m∥,则∥m【答案】B【解析】两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面。高清:空间的线面垂直398999例3例2.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.(1)证明:AE⊥CD;(2)证明:PD⊥平面ABE.【思路点拨】(1)由PA⊥底面ABCD,可得CD⊥PA,又CD⊥AC,故CD⊥面PAC,从而证得CD⊥AE;(2)由等腰三角形的底边中线的性质可得AE⊥PC,由(Ⅰ)知CD⊥AE,从而AE⊥面PCD,A

8、E⊥PD,再由AB⊥PD可得PD⊥面ABE。【解析】(1)证明:在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD,∴CD⊥PA.又CD⊥AC,PA∩AC=A,∴CD⊥面PAC,∵AE⊂面PAC,故CD⊥AE.(2)证明:由PA=AB=BC,∠ABC=60°,可得PA=AC,∵E是PC的中点,∴AE⊥PC,由(1)知CD⊥AE,从而AE⊥面PCD,故AE⊥PD

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