三角函数公式及其应用.doc

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1、三角函数公式及其应用●考试目标主词填空1.两角和与差的三角函数.（1）cos(α±β)=；（2）sin(α±β)=；（3）tan(α±β)=.2.倍角公式.(1)sin2α=2sinαcosα;(2)cos2α=2cos2α－1=1－2sin2α=cos2α－sin2α；(3)tan2α=.3.半角公式.(1)sin;(2)cos=；（3）tan=.●题型示例点津归纳【例1】化简下列各式:(1)cos15°－cos75°;(2)tan19°+tan41°+tan19°·tan41°.【解前点津】(1)考虑所对应的特殊角，逆用差角的正弦公式;(

2、2)展开tan(19°+41°)变形即得.【规范解答】(1)原式=sin60°·cos15°－cos60°·sin15°=sin(60°－15°)=sin45°=;(2)∵tan(19°+41°)=,∴×(1－tan19°·tan41°)=tan19°+tan41°,∴原式=.【解后归纳】对三角函数公式进行逆用或变用，是必须掌握的一项基本功.【例2】已知<β<α<,cos(α－β)=,sin(α+β)=－,求sin2α值.【解前点津】进行“角变形”.用α+β及α－β的形式表示2α,就能与条件对上号!【规范解答】由条件知:(α－β)是第一象限角，(

3、α+β)是第三象限角.故sin(α－β)>0,cos(α+β)<0所以,sin(α－β)=；cos(α+β)=－.∴sin2α=sin［(α－β)+(α+β)］=sin(α－β)·cos(α+β)+cos(α－β)·sin(α+β)=.【解答归纳】应用三角公式，为了与条件对上号，掌用的变形手段有：①变角，(本题就是对角进行变形).②变名，(改变函数名称).③变式，(改变式子结构).【例3】已知－,且tanα,tanβ是方程x2+6x+7=0的两个根，求α+β的值.【解前点津】先计算tan(α+β)的值及α+β的取值范围,再确定α+β值.【规范解答

4、】①∵－,∴－π<α+β<π.由根与系数的关系得:tanα+tanβ=－6<0,tanα·tanβ=7>0,∴tanα<0,tanβ<0,+∴－π<α+β<0.②∵tan(α+β)=,∴α+β=－.【解后归纳】考察α+β的取值范围,是一项精细的工作，要善于综合利用“各种信息”，去伪存真，从而达到“准确定位”.【例4】已知sinα+sinβ=,求cosα+cosβ的取值范围.【解前点津】令m=cosα+cosβ,利用条件,构造关于m的方程.【规范解答】设cosα+cosβ=m①又sinα+sinβ=②.①2+②2得:2+2cos(α+β)=+m2c

5、os(α+β)=.∵－1≤cos(α－β)≤1,∴－1≤≤1解之:－≤m≤,故－≤cosα+cosβ≤.【解后归纳】本题的解答体现了“方程思想”构造方程,并利用三角函数的有界性，是解题的基本思路.●对应训练分阶提升一、基础夯实1.已知sinα·sinβ=1,那么cos(α+β)的值等于()A.－1B.0C.1D.±12.若A,B是△ABC的内角，并且(1+tanA)·(1+tanB)=2,则A+B等于()A.B.C.D.(k∈Z)3.若0<α<<β<π,且cosβ=－,sin(α+β)=,则sinα的值是()A.B.C.D.4.在△ABC中

6、，若sinA·sinB0,则tanA·tanB的值是()A.大于1B.小于1C.可能等于1D.与1的大小关系不定6.已知sinα+sinβ+sinγ=0,cosα+cosβ+cos=0,则cos(β－γ)=()A.－B.C.－1D.17.若tanα=α、β∈,则α+β=()A.B.C.D.8.如果tan,那么m·cosA－n·sinA=()A.nB.－nC.－mD.m9.tan的值为()A.2B.3

7、C.4D.6二、思维激活10.计算:.11.已知:sinα=,2π<α<3π,则sin=.12.已知0<α<π,化简:=.13.函数y=sinx·的最小正周期是.三、能力提高14.已知1+sinx+cosx+sin2x+cos2x=0,求tanx.15.已知4sin2x－6sinx－cos2x+3cosx=0,求:之值.16.求sin10°·sin50°·sin70°的值.17.在△ABC中，tanB+tanC+tanB·tanC=.且tanA+tanB+1=tanA·tanB,试判断△ABC的形状.第3课三角函数公式习题解答1.A由条件知sin

8、α=±1且sinβ=±1,故α=β=2kπ+或2kπ－,(k∈Z)α+β=2kπ±π.2.A∵tan(A+B)==1而0