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1、三角函数公式变形及其应用邓星月数学学院数学与应用数学2010级1班学号20100513104摘要三角函数具有公式多,变形多,应用广的特点,本文将对三角函数诱导公式,和差化积,积化和差,倍角公式,半角公式,万能公式及其应用做简单的整理及梳理,其中包括自制口诀,希望能够加强记忆.关键词:三角函数诱导公式倍角公式万能公式正文一,三角函数的定义1,定义域:正忌纵,余忌横,但要除开正余弦.2,符号法则(函数值变化情况)正弦函数在一二象限为正,三四象限为负;余弦函数在一四象限为正,二三象限为负;正切函数在一三象
2、限为正,二四象限为负.3,正弦线,余弦线,正切线.当角在第一象限:①tanx﹥sinx②sinx﹤tanx4,sinx﹥cosx:x∈[2k+,2k]例1:已知x∈(0,)且sinx+cosx=1/2求:⑴sinx·cosx⑵sinx-cosx⑶tanx解:由sinx+cosx=1/2①得1+2sinxcosx=1/4Sinxcosx=-3/8﹤0X∈(/2)Sinx-cosx﹥0又∵(sinx-cosx)2=1-2sinxcosx=1+3/4=7/4Sinx-cosx=√7/2②由①②得:sinx
3、=(1+√7)/4,cosx=(1-√7)/4∴tanx=sinx/cosx=(1+√7)/(1-√7)例2:y=asinx+bcosx=√(a2+b2)((a/√(a2+b2))siax+(b/√(a2+b2))cosx=√(a2+b2)·sin(x+)二,诱导公式.1,口诀:负角函数正角算{sin(-x)=-sinx;cos(-x)=cosx;tan(-x)=-tanx}终边相同函数等:sin(2k+x)=sinx纵轴要变横不变:把x看成锐角,看原函数符号函数符号看象限:sin((3/2)k+x
4、)=-cosx例3:f(x)=sin（x-）cos2-x三、α、α/2、α/3、2α之间的关系1、α→α/2α一二三四α/2一三一三二四二四（2k，2k+）例4、θ为二象限角，且cosθ/2-sinθ/2=√（1-sinθ），求θ/2所在象限。解：cosθ/2-sinθ/2=Isinθ/2-cosθ/2Icosθ/2>sinθ/2由图可知，θ/2为一或三象限故θ/2为第一象限1、α→α/3α一二三四α/3一二三一二四一三四二三四例5、若θ为第一象限角，下列能确定为正的是（C）A、sinθ/2B、co
5、sθ/2C、tanθ/2D、cos2θ3、α→2αα一二三四2α一二三四一二三四四、三角形中的隐含条件。1、A+B+C=Л（A+B)/2=Л/2-C/2Sin（A+B)=sin（Л-C）=sinCsin（A+B)/2=cosC/2Cos（A+B）=cos（Л-C）=-cosCcos（A+B)/2=sinC/2Tan（A+B)=tan（Л-C）=-tanCtan（A+B)/2=cotC/22、锐角ABC中，A+B>90°，则任一角的正弦大于另两角的余弦。证明：A+B>90°A>90°-BsinA>si
6、n（90°-B)sinA>cosB同理，sinA>cosC3、a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（正弦定理）拓展：分子分母都是齐次的，边角互换，得a/b=sinA/sinBab/c2=(sinA•sinB)/sin2C3、a2=b2+c2-2bc•cosA（余弦定理）即，cosA=（b2+c2-a2）/2bc例6、在ABC中，求证：⑴、sinA+sinB+sinC=4cosA/2cosB/2cosC/2⑵、tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC和差化积公式：口诀：Sinα
7、+sinβ=2sin（α+β）/2•cos（α-β）/2正弦加减正余余正Sinα-sinβ=2cos（α+β）/2•sin（α-β）/2余弦加减余余正正Cosα+cosβ=2cos（α+β）/2•cos（α-β）/2和差取半前有二Cosα-cosβ=-2sin（α+β）/2•sin（α-β）/2余弦相减负在前证明：例6⑴、sinA+sinB+sinC=2sin（A+B)/2•cos（A+B)/2+2sinC/2•cosC/2=2cosC/2•cos（A-B)/2+2cos（A+B)/2•cosC/2
8、=2cosC/2（cos（A-B)/2+cos（A+B)/2)=4cosC/2•cosA/2•cosS/2⑵、tan（α+β）=（tanα+tanβ）/（1-tanαtanβ）Tanα+tanβ=tan（α+β）•（1-tanαtanβ）左边=tanA+tanB+tanC=tan(A+B)•(1-tanAtanB)+tanC=-tanC+tanAtanBtanC+tanC=tanAtanBtanC和差公式：口诀：Sin（α±β）=sinαcosβ±cosαsinβ两角
