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1、丽水学院教案课程名称：高等数学课程代码：B2授课专业班级：电信121、122本授课教师：洪涛清院别：理学院2013年5月13日一、授课题目§10.3格林公式及其应用二、教学时间安排：共3课时三、教学目的、要求1．了解格林公式的证明过程，理解格林公式的实质及满足的条件。2．熟练掌握格林公式及其简单的应用。3．理解并掌握平面曲线积分与路径无关的四个等价条件。4．会求全微分的原函数。四、教学重点和难点重点:格林公式的应用难点:灵活应用格林公式进行简化计算。五、教学方法及手段启发式讲授法结合多媒体教学。六、教学过程设计准备知识1．单连通与复连通
2、区域:设D为平面区域,如果D内任一闭曲线所围的部分都属于D,则称D为平面单连通区域,否则称为复连通区域.2．边界曲线的正向：对平面区域D的边界曲线L,我们规定L的正向如下:当观察者沿L的这个方向行走时,D内在他近处的那一部分总在他的左边.（一）格林公式1．定理1设闭区域D由分段光滑的曲线围成,函数P(x,y)及Q(x,y)在D上具有一阶连续偏导数,则有,其中L是D的取正向的边界曲线.2．简要证明分析:先就D既是X－型的又是Y－型的区域情形进行证明.设D={(x,y)
3、j1(x)£y£j2(x),a£x£b}.因为连续,所以由二重积分的计
4、算法有.另一方面,由对坐标的曲线积分的性质及计算法有.因此.设D={(x,y)
5、y1(y)£x£y2(y),c£y£d}.类似地可证.由于D既是X－型的又是Y－型的,所以以上两式同时成立,两式合并即得.注意:对复连通区域D,格林公式右端应包括沿区域D的全部边界的曲线积分,且边界的方向对区域D来说都是正向.3．格林公式的简单应用：（1）化曲线积分为二重积分，如课件例1例1/设L是任意一条分段光滑的闭曲线,证明.证:令P=2xy,Q=x2,则.因此,由格林公式有.(为什么二重积分前有“±”号？)（2）化二重积分为曲线积分例2.计算,其中D是
6、以O(0,0),A(1,1),B(0,1)为顶点的三角形闭区域.分析:要使,只需P=0,.解:令P=0,,则.因此,由格林公式有.（3）计算平面区域面积设区域D的边界曲线为L,取P=-y,Q=x,则由格林公式得,或.例3.椭圆x=acosq,y=bsinq所围成图形的面积A.分析:只要,就有.解:设D是由椭圆x=acosq,y=bsinq所围成的区域.令,,则.于是由格林公式,=pab.4．注意格林公式成立的条件：例4计算,其中L为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线,L的方向为逆时针方向.解:令,.则当x2+y2¹0时,有.记
7、L所围成的闭区域为D.当(0,0)ÏD时,由格林公式得;当(0,0)ÎD时,在D内取一圆周l:x2+y2=r2(r>0).由L及l围成了一个复连通区域D1,应用格林公式得其中l的方向取逆时针方向.于是=2p.注：计算结果与L围成的区域是否包括原点有关！因为P、Q的偏导数在原点不连续。（二）平面上曲线积分与路径无关的条件1．定义：设G是一个开区域,P(x,y)、Q(x,y)在区域G内具有一阶连续偏导数.如果对于G内任意指定的两个点A、B以及G内从点A到点B的任意两条曲线L1、L2,等式恒成立,就说曲线积分在G内与路径无关,否则说与路径有关
8、.设曲线积分在G内与路径无关,L1和L2是G内任意两条从点A到点B的曲线,则有,于是有ÛÛÛ,所以有以下等价的结论:曲线积分在G内与路径无关相当于沿G内任意闭曲线C的曲线积分等于零.2．定理2设开区域G是一个单连通区域,函数P(x,y)及Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数,则曲线积分在G内与路径无关（或沿G内任意闭曲线的曲线积分为零）的充要条件是等式在G内恒成立.（证明略）注意:定理要求,区域G是单连通区域,且函数P(x,y)及Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数.如果这两个条件之一不能满足,那么定理的结论不能保证成立.如前例4:设L
9、为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线,L的方向为逆时针方向,问是否一定成立？提示:这里和在点(0,0)不连续.因为当x2+y2¹0时,,所以如果(0,0)不在L所围成的区域内,则结论成立,而当(0,0)在L所围成的区域内时,结论不成立，因而计算结果与积分路径有关.破坏函数P、Q及、连续性的点称为奇点.3．定理2的应用：若在某区域内，恒有成立，则1)计算曲线积分时,可选择方便的积分路径;2)求曲线积分时,可利用格林公式简化计算（若积分路径不是闭曲线,可添加辅助线转化为闭曲线）;3)可用积分法求du=Pdx+Qdy在域D内的原函数
10、（放第3课时教学）例5计算,其中L为抛物线y=x2上从O(0,0)到B(1,1)的一段弧.解:因为在整个xOy面内都成立,所以在整个xOy面内,积分与路径无关.于是，有.又如课件中例5（三）二元函数的全微分
