格林公式及其应用.doc

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1、第三节格林公式及其应用课题第3讲：第三节格林公式及其应用教学目的要求1.掌握格林公式;2.掌握平面上的曲线积分与路径无关的条件;3.掌握二元函数的全微分求积4.掌握定理3的证明方法.主要内容与时间分配1.格林公式30分钟2.平面上的曲线积分与路径无关的条件;30分钟3.二元函数的全微分求积20分钟重点难点格林公式;曲线积分与路径无关的条件.教学方法和手段启发式教学法.以讲授为主，使用电子教案课后作业练习习题10—3第153页2(3);3;4(3);5(4);7.一、格林公式1．单连通区域。设为单连通区域，若内任一闭曲线所围的部分都属于。称为单连通区域（不含洞），否则称为复

2、连通区域（含洞）。规定平面的边界曲线的方向，当观测者沿行走时，内在他近处的那一部分总在他的左边，如右图图10-3-1定理1（格林公式）设闭区域由分段光滑的曲线围成，函数和在上具有一阶连续偏导数，则有=。为的取正向的边界曲线。证对既为型又为型区域：∵连续，==图10-3-2：又=+=∴对于型区域，同理可证=∴原式成立对于一般情况，可引进辅助线分成有限个符合上述条件区域，在上应用格林公式相加，由于沿辅助线积分是相互抵消，即可得证。几何应用：在格林公式中，取，=∴说明：（1）格林公式对光滑曲线围成的闭区域均成立图10-3-3（2）记法=（3）在一定条件下用二重积分计算曲线积分，

3、在另外条件下用曲线积分计算二重积分。（4）几何应用。例1计算：解原式=，，例2计算星形线围成图形面积解=二、平面上曲线积分与路径无关的条件定理2设区域G是一个单连通区域，函数在G内具有一阶连续偏导数，则曲线积分在G内与路径无关（或沿G内任意闭曲线的曲线积分为零）的充要条件是在G内恒成立。例1：从到的折线；：从到的直线解=3：,即=图10-3-4定理3设，在单连通区域内有连续的一阶偏导数，则以下四个条件相互等价（1）内任一闭曲线，=。（2）对内任一曲线，与路径无关（3）在内存在某一函数使在内成立。（4），在内处处成立。证明（1）（2）在内任取两点，及连接的任意两条曲线，∴为

4、内一闭曲线由（1）知，即+=∴=图10-3-5（2）（3）若在内与路径无关。当起点固定在（）点，终点为后，则是的函数，记为。下证=的全微分为=。∵，连续，只需证，，由定义=+图10-3-6=+∴==，即，同理。（3）（4）若=，可证=，，，，由具有连续的一阶偏导数故=（4）（1）设为内任一闭曲线，为所围成的区域。==。例2曲线积分，为过，和点的圆弧。解令，，则，∴与路径无关。取积分路径为。+图10-3-7==例3计算，（1）为以为心的任何圆周。（2）为以任何不含原点的闭曲线。解（1）令，，，，图10-3-8∴在除去处的所有点处有=，作以0为圆心，为半径作足够小的圆使小圆含

5、在内，∴=，即=（2）∵=∴0三、二元函数的全微分求积∵与路径无关，则为某一函数的全微分为==+注：有无穷多个。图10-3-9例4验证：是某一函数的全微分，并求出一个原函数。解令，，∴原式在全平面上为某一函数的全微分，取，图10-3-10==例5计算，为从到再到，是半圆弧解令，，，图10-3-11添加直线，则，原式+===∴原式==例6设在上连续可导，求，其中为从点到的直线段。解令，图10-3-12=，故原积分与路径无关，添构成闭路，∴原式+∴原式==练习1.证明：若为连续函数，而为无重点的按段光滑的闭曲线，则。2.确定的值，使在不经过直线的区域上，与路径无关，并求当为从

6、点到点的路径时的值。3．设，为上的连续函数，证明小结：1.格林公式及应用，积分与路径无关的四个等价命题，全微分求积。2.格林公式使有些问题简化，有时可计算不封闭曲线积分，只需添上一条线使之成为封闭曲线，再减去所添曲线的积分值即可。