资源描述：
《格林公式及其应用(VII)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第十一章曲线积分 与曲面积分1一、格林公式二、平面上曲线积分与路径无关的条件三、二元函数的全微分求积第三节格林公式及其应用2D一、格林公式1.连通区域设D为平面区域,如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D,则称D为平面单连通区域,否则称为复连通区域D单连通区域复连通区域无“洞”的区域有“洞”的区域区域D的正向边界：外边界逆时针，内边界顺时针.32.格林公式定理1设区域D是由分段光滑正向曲线L围成，函数---格林公式或4证明1)设D既是X-型又是Y-型区域abDcd则ABCE5因此又由于是Y-型区域，同理可证两式相加得:62)若D不满足以上条件,则可通过加辅助线将其
2、分割为有限个上述形式的区域,如图ABCPNM7说明(1)格林公式建立了平面区域D上的二重积分与沿D的边界上对坐标的曲线积分的关系，是牛顿-莱布尼茨公式的推广.(2)格林公式的应用1）在计算上，可以实现二重积分与曲线积分的相互转化；2）在应用上，通过它可以求出曲线积分与路径无关的条件.（下面的内容）(3)格林公式成立的条件：L封闭且取正向P、Q在D上一阶偏导数连续8格林公式的一个简单应用设正向闭曲线L所围区域D的面积A曲线积分计算面积的公式例如,椭圆所围面积9D例1解则利用格林公式,有13.格林公式的应用(1)计算二重积分10D例2解(2)计算曲线积分11例3解添加
3、辅助线段AO,它与L所围区域为D,D4用格林公式有原式12例4L不是一条封闭曲线,解添加辅助线段BA,OA它与L所围区域为D,用格林公式有原式A(1,0)B(1,1)DD的反向边界13应用格林公式计算曲线积分添加辅助曲线应注意（1）一般辅助线取平行坐标轴的直线或折线；（2）辅助曲线的方向为它能使得封闭曲线构成正方向.14例4解设L所围区域为D,由格林公式知LyxoP和Q一阶偏导数连续15在D内作圆周取逆时针方向,,对区域应用格记L和lˉ所围的区域为林公式,得yxoP和Q一阶偏导数不连续16二、平面上曲线积分与路径无关的条件GyxoBA如果在区域G内，对任何A、B和
4、曲线L1，L2有在区域G内与路径无关.1.曲线积分与路径与关的定义17定理22.曲线积分与路径与关的条件证明18与假设条件矛盾.19(1)第2节说明如本节例4(3)定理的应用根据定理2,若在某区域内则计算曲线积分时,可选择方便的积分路径;(4)积分与路径无关时,曲线积分可记为20例5解C(2,1)A(1,0)B(2,0)21例6解22三、二元函数的全微分求积---求二元函数全微分问题---二元函数的全微分求积问题讨论以下两个问题：23定理3证明设存在函数u(x,y)使得由全微分定义有24由全微分定义有P,Q在G内具有连续的偏导数,从而在G内每一点都有和终点M(x,
5、y),因曲线积分与路径无关,有函数25则同理可证因此有yxoG26推论说明27或o28yxo例7证由定理2可知,存在函数u(x,y)使29小结1.格林公式应用内容常用来将较复杂的曲线积分的计算转化为较简单的二重积分的计算.2.曲线积分与路径无关的条件303.等价条件在D内与路径无关在D内有对D内任意闭曲线L有在D内有设P,Q在D内具有一阶连续偏导数,则有31求第二类曲线积分的思路:闭合非闭闭合非闭补充曲线或用公式32作业：P213-214习题11.32.(1）3.4.(2)5.(1)(4)6.(2)33
