格林公式及应用(VII)

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1、格林公式及应用第三节仅对平面上对坐标的曲线积分讨论否则称D为复(多)连通区域．复连通区域单连通区域DD一、单连通区域与多连通区域设D是一平面区域，如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D，则称D为(平面)单连通区域，设有空间区域G，如果G内任一闭曲面所围成类似地，否则称G为复(多)连通区域．围成的区域全属于G，则称G是(空间)单连通区域，二、格林公式设平面闭区域由分段光滑曲线所围成，则有其中是的边界取正向，公式(1)称为格林公式．边界曲线L的正向：单连通区域多连通区域定理当观察者沿区域D的边界L行走

2、时，L所围区域D总在他的左侧．证明(1)yxoabDAB则同理可得证明(2)D故(1)式成立.证明(3)ABCE从而格林公式成立．函数在上具有一阶连续偏导数，则有其中是的边界取正向．格林公式:格林公式的实质设平面闭区域由分段光滑曲线所围成，三、格林公式的简单应用1.简化曲线积分的计算例1解法1利用格林公式解法2直接用曲线积分公式计算(略).例2解则由格林公式解滑且不经过原点的连续闭曲线，方向为逆时针方向．xyoLyxo格林公式的条件不满足2.计算平面区域的面积解四、平面曲线积分与路径无关的条件Gy

3、xoBA二元函数的全微分求积函数定理在上具有一阶连续偏导数，则下面四个断语等价：注意G为单连通区域．则由格林公式证设A、B是区域G内任意两点，AB是G内任意两条从A到B的曲线，定理证毕一个原函数．与一元函数类似，如果u(x,y)是Pdx+Qdy的一个原函数，则其原函数的全体为u(x,y)+C．由前面的讨论可知，此时L若取积分路径为折线段ACB，若取积分路径为折线段ADB，解因此，积分在xoy面内与路径无关．例5验证与路径无关，若取积分路径：L1+L2.解L为由点到点的曲线弧．取积分路径如图所示：解

4、例7例8解法一解法二从而故所求函数的全体为例9解(1)例9解(2)解(2)