格林公式及应用(III)

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1、1第二节格林公式及其应用一、几个概念二、格林公式三、平面曲线积分与路径无关的定义四.平面曲线积分与路径无关等价条件2一、几个概念1、设D为平面区域,如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D,则称D为平面单连通区域,否则称为复连通区域.复连通区域单连通区域DD单连通区域是无“洞”区域复连通区域是有“洞”区域32、边界曲线L的正向:当观察者沿边界行走时,区域D总在他的左边.4二、格林公式定理15证明yxoabDcdABCE6同理可证yxodDcCE两式相加得7三、简单应用1.简化曲线积分所以由格林公式8例2.计算

2、其中L为上半圆周从O(0,0)到A(4,0).解:为了使用格林公式,添加辅助线段,它与L所围区域为D,则原式9xyoAB10xyoAB11解1213142.简化二重积分xyo15xyo163.计算平面面积17正向闭曲线L所围区域D的面积格林公式例如,椭圆所围面积18解1920Gyxo三、曲线积分与路径无关的定义BA如果在区域G内21四、平面曲线积分与路径无关等价条件定理2.设D是单连通开区域,在D内具有一阶连续偏导数,(1)沿D中任意分段光滑闭曲线L,有(2)对D中任一分段光滑曲线L,曲线积分(3)(4)

3、在D内每一点都有与路径无关,只与起止点有关.函数则以下四个条件等价在D内是某一函数的全微分,即22(1)沿D中任意分段光滑闭曲线L,有(2)对D中任一分段光滑曲线L,曲线积分与路径无关,只与起止点有关.证明(1)(2)设为D内任意两条由A到B的有向分段光滑曲线,则23(3)在D内是某一函数的全微分,即(2)对D中任一分段光滑曲线L,曲线积分与路径无关,只与起止点有关.证明(2)(3)在D内取定点因曲线积分则同理可证因此有。。。和任一点B(x,y),与路径无关,设24(3)在D内是某一函数的全微分,即(4)在

4、D内每一点都有证明(3)(4)设存在函数u(x,y)使得则P,Q在D内具有连续的偏导数从而在D内每一点都有25(1)沿D中任意分段光滑闭曲线L,有(4)在D内每一点都有设L为D中任一分段光滑闭曲线,所围区域为(如图),因此在上利用格林公式,得证明(4)(1)26四、平面曲线积分与路径无关等价条件定理2.设D是单连通开区域,在D内具有一阶连续偏导数,(1)沿D中任意分段光滑闭曲线L,有(2)对D中任一分段光滑曲线L,曲线积分(3)(4)在D内每一点都有与路径无关,只与起止点有关.函数则以下四个条件等价在D内是

5、某一函数的全微分,即27说明:若在某区域内有则(2)求曲线积分时,可利用格林公式简化计算,(3)求全微分Pdx+Qdy在域D内的原函数:及动点或则原函数为若积分路径不是闭曲线,可添加辅助线;取定点(1)计算曲线积分时,可选择方便的积分路径;28解：因为即不含原点的单连通域，积分与路径无关。取新路径29其参数方程为30例2.验证是某个函数的全微分,并求出这个函数.证:设则由定理2可知,存在函数u(x,y)使。。31例3.验证在右半平面(x>0)内存在原函数,并求出它.证:令则由定理2可知存在原函数。。32。。

6、或33故积分路径可取圆弧例4.设质点在力场作用下沿曲线L:由移动到求力场所作的功W.(其中)解:令则有曲线积分在除原点外的单连通开区域上与路径无关,思考：积分路径是否可以取为什么？34设函数平面上具有一阶连续偏导数，曲线积分与路径无关，并且对任意t恒有解：由积分与路径无关的条件知35两边对t求导得36两边对t求导得372.设求提示:38小结1.连通区域的概念;2.二重积分与曲线积分的关系3.格林公式的应用.——格林公式;391.格林公式2.等价条件在D内与路径无关在D内有对D内任意闭曲线L在D内有设P,Q

7、在D内具有一阶连续偏导数,则有小结40Ａ组