《格林公式及应用》PPT课件

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1、单连通与多连通区域区域的边界曲线的方向当观察者沿区域D的边界曲线L行走时如果左手在区域D内则行走方向是L的正向，记作单连通区域多连通区域设D为平面区域如果D内任一闭曲线所围的部分都属于D则称D为平面单连通区域否则称为多连通区域8-3格林公式.平面第二型曲线积分与路径无关的条件定理1证明(2)D两式相加得同理可证GDFCEAB证明(3)由(2)知注意：对复连通区域D格林公式右端应包括沿区域D的全部边界的曲线积分且边界的方向对区域D来说都是正向xyoL1.简化曲线积分AB2.计算二重积分xyo3.计

2、算平面面积解2、平面上曲线积分与路径无关的等价条件例.计算其中L为(1)抛物线(2)抛物线(3)有向折线称积分与路径无关这是因为设L1和L2是D内任意两条从点A到点B的曲线则L1(L2-)是D内一条任意的闭曲线而且有曲线积分与路径的关系在D意一条简单逐段光滑闭曲线的曲线积分曲线积分内与路径无关沿D内任ò+QdyPdx=0曲线积分与路径的关系定理2(曲线积分与路径无关的判断方法).)(闭曲线的曲线积分为零则曲线积分ò+LQdyPdx在D内与路径无关或沿D内任意,(,),数设函数Pxy及Q(xy)在单连通域D内

3、具有一阶连续偏导在D内处处成立在D意一条简单逐段光滑闭曲线的曲线积分曲线积分内与路径无关沿D内任ò+QdyPdx=0应用定理2应注意的问题(1)区域D是单连通区域(2)函数P(xy)及Q(xy)在D内具有一阶连续偏导数如果这两个条件之一不能满足那么定理的结论不能保证成立(例5)表达式P(xy)dxQ(xy)dy与函数的全微分有相同的结构但它未必就是某个函数的全微分那么在什么条件下表达式P(xy)dxQ(xy)dy是某个二元函数u(xy)的全微分呢？当这样的二元函数存在时怎样求出这个二

4、元函数呢？二元函数u(xy)的全微分为du(xy)=ux(xy)dxuy(xy)dy二元函数的全微分求积原函数如果函数u(xy)满足du(xy)=P(xy)dxQ(xy)dy则函数u(xy)称为P(xy)dxQ(xy)dy的原函数.设函数P(xy)及Q(xy)在单连通域D内具有一阶连续偏导数则P(xy)dxQ(xy)dy在D内恰是某一函数u(xy)的全微分的充分必要条件是等式在D内恒成立定理3推论设函数P(xy)及Q(xy)在单连通域D内具有一阶连续偏导数对任意

5、两点曲线积分与路径无关的充要条件是：P(xy)dxQ(xy)dy恰是某一函数u(xy)的全微分，此外，当PdxQdy是u(xy)的全微分时，有总结:设D是单连通域,在D内具有一阶连续偏导数,(1)沿D中任意光滑闭曲线L,有(2)对D中任一分段光滑曲线L,曲线积分(3)(4)在D内每一点都有与路径无关,只与起点及终点有关.函数则以下四个条件等价:在D内是某一函数的全微分,即说明:积分与路径无关时,曲线积分可记为证明(1)(2)设为D内任意两条由A到B的有向分段光滑曲线,则(根据条件(1))证明(2)(3)

6、在D内取定点因曲线积分则同理可证因此有和任一点B(x,y),与路径无关,有函数证明(3)(4)设存在函数u(x,y)使得则P,Q在D内具有连续的偏导数,从而在D内每一点都有证明(4)(1)设L为D中任一分段光滑闭曲线,(如图),利用格林公式,得所围区域为说明:根据等价命题,若在某区域内则2)求曲线积分时,可利用格林公式简化计算,3)可用积分法求du=Pdx+Qdy在域D内的原函数:及动点或则原函数为若积分路径不是闭曲线,可添加辅助线;取定点1)计算曲线积分时,可选择方便的积分路径;解方法一求原函数的方法求的原函数的

7、方法如下:若在单连通域中有连续的偏导数,且满足方法二(1)先固定,将看作是的函数为了求的原函数,显然令对积分可求出对积分方法三:凑全微分法解二：先固定,将看作是的函数因此是某个函数的全微分.由例9的原函数可见其中为任意常数.例10.设质点在力场作用下沿曲线L:由移动到求力场所作的功W解:令则有可见,在不含原点的单连通区域内积分与路径无关.思考:积分路径是否可以取取圆弧为什么？注意,本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径无关!例11.质点M沿着以AB为直径的半圆,从A(1,2)运动到点B(3,4),到原点的距离,解

8、:由图知故所求功为锐角,其方向垂直于OM,且与y轴正向夹角为求变力F对质点M所作的功.(90考研)F的大小等于点M在此过程中受力F作用,