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1、单连通与多连通区域区域的边界曲线的方向当观察者沿区域D的边界曲线L行走时如果左手在区域D内则行走方向是L的正向,记作单连通区域多连通区域设D为平面区域如果D内任一闭曲线所围的部分都属于D则称D为平面单连通区域否则称为多连通区域8-3格林公式.平面第二型曲线积分与路径无关的条件定理1证明(2)D两式相加得同理可证GDFCEAB证明(3)由(2)知注意:对复连通区域D格林公式右端应包括沿区域D的全部边界的曲线积分且边界的方向对区域D来说都是正向xyoL1.简化曲线积分AB2.计算二重积分xyo3.计
2、算平面面积解2、平面上曲线积分与路径无关的等价条件例.计算其中L为(1)抛物线(2)抛物线(3)有向折线称积分与路径无关这是因为设L1和L2是D内任意两条从点A到点B的曲线则L1(L2-)是D内一条任意的闭曲线而且有曲线积分与路径的关系在D意一条简单逐段光滑闭曲线的曲线积分曲线积分内与路径无关沿D内任ò+QdyPdx=0曲线积分与路径的关系定理2(曲线积分与路径无关的判断方法).)(闭曲线的曲线积分为零则曲线积分ò+LQdyPdx在D内与路径无关或沿D内任意,(,),数设函数Pxy及Q(xy)在单连通域D内
3、具有一阶连续偏导在D内处处成立在D意一条简单逐段光滑闭曲线的曲线积分曲线积分内与路径无关沿D内任ò+QdyPdx=0应用定理2应注意的问题(1)区域D是单连通区域(2)函数P(xy)及Q(xy)在D内具有一阶连续偏导数如果这两个条件之一不能满足那么定理的结论不能保证成立(例5)表达式P(xy)dxQ(xy)dy与函数的全微分有相同的结构但它未必就是某个函数的全微分那么在什么条件下表达式P(xy)dxQ(xy)dy是某个二元函数u(xy)的全微分呢?当这样的二元函数存在时怎样求出这个二
4、元函数呢?二元函数u(xy)的全微分为du(xy)=ux(xy)dxuy(xy)dy二元函数的全微分求积原函数如果函数u(xy)满足du(xy)=P(xy)dxQ(xy)dy则函数u(xy)称为P(xy)dxQ(xy)dy的原函数.设函数P(xy)及Q(xy)在单连通域D内具有一阶连续偏导数则P(xy)dxQ(xy)dy在D内恰是某一函数u(xy)的全微分的充分必要条件是等式在D内恒成立定理3推论设函数P(xy)及Q(xy)在单连通域D内具有一阶连续偏导数对任意
5、两点曲线积分与路径无关的充要条件是:P(xy)dxQ(xy)dy恰是某一函数u(xy)的全微分,此外,当PdxQdy是u(xy)的全微分时,有总结:设D是单连通域,在D内具有一阶连续偏导数,(1)沿D中任意光滑闭曲线L,有(2)对D中任一分段光滑曲线L,曲线积分(3)(4)在D内每一点都有与路径无关,只与起点及终点有关.函数则以下四个条件等价:在D内是某一函数的全微分,即说明:积分与路径无关时,曲线积分可记为证明(1)(2)设为D内任意两条由A到B的有向分段光滑曲线,则(根据条件(1))证明(2)(3)
6、在D内取定点因曲线积分则同理可证因此有和任一点B(x,y),与路径无关,有函数证明(3)(4)设存在函数u(x,y)使得则P,Q在D内具有连续的偏导数,从而在D内每一点都有证明(4)(1)设L为D中任一分段光滑闭曲线,(如图),利用格林公式,得所围区域为说明:根据等价命题,若在某区域内则2)求曲线积分时,可利用格林公式简化计算,3)可用积分法求du=Pdx+Qdy在域D内的原函数:及动点或则原函数为若积分路径不是闭曲线,可添加辅助线;取定点1)计算曲线积分时,可选择方便的积分路径;解方法一求原函数的方法求的原函数的
7、方法如下:若在单连通域中有连续的偏导数,且满足方法二(1)先固定,将看作是的函数为了求的原函数,显然令对积分可求出对积分方法三:凑全微分法解二:先固定,将看作是的函数因此是某个函数的全微分.由例9的原函数可见其中为任意常数.例10.设质点在力场作用下沿曲线L:由移动到求力场所作的功W解:令则有可见,在不含原点的单连通区域内积分与路径无关.思考:积分路径是否可以取取圆弧为什么?注意,本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径无关!例11.质点M沿着以AB为直径的半圆,从A(1,2)运动到点B(3,4),到原点的距离,解
8、:由图知故所求功为锐角,其方向垂直于OM,且与y轴正向夹角为求变力F对质点M所作的功.(90考研)F的大小等于点M在此过程中受力F作用,