《格林公式及其应用》ppt课件

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1、环形区域都是复连通区域.定义规定平面区域D的边界曲线L的正向如下：当观测者沿L的这个方向行走时，D内在他近处的那一部分总在他的左边.如图DL定理1.设区域D是由分段光滑正向曲线L围成,则有(格林公式)函数在D上具有连续一阶偏导数,1.格林公式证先证根据区域D的不同，我们分三种情况进行证明：（1）根据曲线积分的性质及计算法，有另一方面，根据二重积分的计算法，有比较上面两式，即得所要的公式（8.4）(2)若D是单连通区域,但D的边界线L与平行于y轴的直线之交点多于两个.则可通过加辅助线将其分割为有限个上述形式的区域,如图

2、证毕(3)D是多连通区域这时仍然可以通过作辅助线的方法将D分作若干小区域.如图所示.对于每个小区域使用上述公式(8.4),然后相加，即得出对于整个区域D上公式(8.4)成立.类似地可证将前面已证明的关于及的公式相加，即得到格林公式.例1求其中L为正方形ABCD的边界，A(1,0),B(0,1),C(-1,0),D(0,-1).A(1,0)B(0,1)D(-1,0)C(0,-1)xyo解利用格林公式，例2求椭圆的面积D.解椭圆的边界方程为D的面积例3求曲线积分解为利用格林公式，故需分两种情况讨论.(1)当L所围成的区域

3、D内不包含原点时,P(x,y),Q(x,y)在D内有连续的一阶偏导数，这时可用格林公式.易算出(2)当L所围的区域D包含原点作为其内点时，由于P(x,y),Q(x,y)在D内一点（即原点）处无定义，也就不满足格林公式成立的条件，故不能在区域D上用格林公式.为了能用格林公式，需要把原点“挖掉”.为此以原点为圆心，充分小的r(>0)为半径作一小圆C，使C整个包含在D内.在挖掉小圆域C之后的多连通区域上，可利用格林公式.设C的边界曲线为，则有此式说明，沿任意一条将原点包围在其内部的光滑正向闭曲线L的积分，都等于沿以原点为圆

4、心的正向圆周的积分.例4设函数u(x,y)在有界闭区域D上有连续的二阶偏导数，L为D的边界且逐段光滑.证明：其中表示函数u(x,y)沿L的外法线方向的方向导数，应满足证设为的单位切向量，其方向余弦为.而为L的外法线方向的单位向量.设与其中为z轴正方向的单位向量.由于说明的方向余弦为.于是由方向导数的定义，有例5设区域D的边界为闭曲线L.某稳定流体(即流体的流速与时间无关，只与点的位置有关)在上每一点(x,y)处的速度为其中P(x,y),Q(x,y)在上有一阶连续偏导数.该流体通过闭曲线L的流量定义为其中为L的外法线方

5、向的单位向量.试证明证设的切向量的方向余弦为由例4知=========由格林公式（格林公式的另一种形式）称函数为平面向量场的散度.物理意义：稳定流体通过某一闭曲线的流量，等于其散度在该闭曲线所的区域上的二重积分之值.提示格林公式:设区域D的边界曲线为L则在格林公式中令PyQx则有用格林公式计算区域的面积2.平面第二型曲线积分与路径无关的条件设G是一个开区域P(xy)、Q(xy)在区域G内具有一阶连续偏导数与路径无关否则说与路径有关如果对于G内任意指定的两个点A、B以及G内从点A到点B的任意

6、两条曲线L1、L2等式这是因为设L1和L2是D内任意两条从点A到点B的曲线则L1(L2-)是D内一条任意的闭曲线而且有在D意一条简单逐段光滑闭曲线的曲线积分曲线积分内与路径无关沿D内任ò+QdyPdx=0定理2(曲线积分与路径无关的判断方法).)(闭曲线的曲线积分为零则曲线积分ò+LQdyPdx在D内与路径无关或沿D内任意,(,),数设函数Pxy及Q(xy)在单连通域D内具有一阶连续偏导在D内处处成立证充分性已知上述等式在D内处处成立.在D内任取一简单闭曲线C，记C所围之区域为.由于D是单连通区域，因而被包

7、含在D内，于是在区域上用格林公式得，DC积分与路径无关必要性我们假定上述积分与路径无关，要证明等式在D内处处成立.用反证法.设在D内一点处上述等式不成立，不妨设由假设可知函数在D内连续.因而在D内存在以为圆心以充分小的正数r为半径的小圆域，使在整上，有设的边界线为，在上用格林公式，有但是D内的简单闭曲线，由证明假设及前面命题，应有于是发生矛盾.证毕,.应用定理2应注意的问题(1)区域D是单连通区域(2)函数P(xy)及Q(xy)在D内具有一阶连续偏导数如果这两个条件之一不能满足那么定理的结论不能保证成立讨

8、论设L为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线L的方向为逆时针方向问是否一定成立？提示在例4中已看到,当L所围成的区域含有原点时,上面的闭路积分不等于0,其原因在于区域内含有破坏函数P,Q,及连续性条件的点O.例6求曲线积分解因为又它们在全平面上连续，所以积分与路径无关.取下列直线段为积分路径：oxyA当曲线积分与路径无关时，它只