格林公式及其应用30256.ppt

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1、8.2格林公式及其应用8.2.1、格林公式1．单连域与复连域设D为平面区域，如果D内任一闭区域所围的部分都属于D，则称D为平面单连通区域，否则称为复连通区域。D的边界曲线L的正向规定如下：当观察者沿L的这个方向行走时，D内在他近处的那一部分总在它的左边。单连域DDDD复连域DLDLl2．格林公式定理设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，函数P（x，y）及Q（x，y）在D上具有一阶连续偏导数，则有其中L是D的取正向的边界曲线。公式（1）叫做格林公式。证明(1)yxoabDcdABCE同理可证yxoDcdABCE证明(2)D两式相加

2、得GDFCEAB证明(3)由(2)知3．格林公式的应用举例。当D的边界曲线由参数方程得出时，由（4）式可求D的面积。例1（4）例如椭圆(1).计算平面面积(2).简化曲线积分L：y=sinx从O（0，0）到A（π，0）。解：可直接化为对x的定积分，但计算量较大。这里用格林公式。OA（（解xyoLyxoxyo(注意格林公式的条件)注此例中所作的辅助圆l是否一定要是D内的圆周（即r充分小）？说明：如除点（0，0）外，处处有则yOxL1L2L3L小结：（1）L是D的边界，在D上可应用格林公式计算（2）L不封闭时，采取“补线”的方法

3、：要求右端的二重积分及曲线积分易于计算。l选用直线段、折线等。其中l是包围点(x0，y0)的与L同向的光滑的简单闭曲线，特别地l是以(x0，y0)为中心的圆、椭圆等.（3）如在D上P、Q一阶偏导连续，且处处有则如D内除点M0(x0，y0)外均有逆时针方向。解：除原点外处处有取L：4x2+y2=1,逆时针方向，则或利用椭圆的参数方程直接计算。8.2.2、曲线积分与路径无关的条件1．什么叫曲线积分与路径无关GyxoBA如果在区域G内有显然曲线积分沿G内任意闭曲线C的曲线积分在G内与路径无关2．曲线积分与路径无关的条件定理2设

4、开区域G是一个单连通域，函数P（x，y），Q（x，y）在G内具有一阶连续偏导数，则曲线积分（5）在G内恒成立。证明：充分性：在G内任取一条闭曲线C的充分必要条件是等式在G内与路径无关（或沿G内闭曲线的曲线积分为零）因为G是单连通的，所以闭曲线C所围成的区域D全部在G内，应用格林公式，有必要性：现在要证的是：如果沿G内任意闭曲线的曲线积分为零，那么（5）式在G内恒成立。不妨假定由于在G内连续，可以在G内取得一个以M0为圆心半径足够小的圆形闭区域K，使得在K上恒有用反证法来证。假使上述论断不成立，那么G内至少有一点M0，使于是由

5、格林公式及二重积分的性质就有这里的γ是K的正向边界曲线，σ是K的面积。因为这结果与沿G内任意闭曲线的曲线积分为零的假定相矛盾，可见G内使（5）式不成立的点不可能存在，即（5）式在G内处处成立。证毕。η>0,σ>0，从而如果这两个条件不能都满足，那么定理的结论不一定成立。如在前面的例4、例5中，除原点外恒有但沿包围原点的闭曲线L的积分两条件缺一不可有关定理的说明：解：例111OACxyB（1，2）所以,曲线积分与路径无关与路径无关，仅与起点A(x1，y1)终点B(x2，y2)的坐标有关，其中L是G内以A为起点，B为终点的任意光

6、滑或分段光滑的曲线。此时可记(x1，y1)先积x(x2，y1)(x2，y2)后积y后积x(x1，y2)先积y3、二元函数的全微分求积1)．Pdx+Qdy为某函数全微分的充要条件。定理3设开区域G是一个单连通区域，函数P(x，y)、Q(x，y)在G内具有一阶连续偏导数，则P(x，y)dx+Q(x，y)dy在G内为某一函数u(x，y)的全微分的充分必要条件是等式在G内恒成立。证明：先证必要性。假设存在某一函数u(x，y)，使得du=P(x，y)dx+Q(x，y)dy则必有从而由于P、Q具有一阶连续偏导数，所以再证充分性。设已知条

7、件（5）在内G恒成立，当起点M0(x0，y0)固定时，这个积分的值取决于终点M(x，y)，因此，它是x、y的函数，把这函数记作u(x，y)，即这就证明了条件（5）是必要的。则起点为M0(x0，y0)终点为M(x，y)的曲线积分在区域G内与路径无关，于是可把这个曲线积分写作下面证明这函数u(x，y)的全微分就是P(x，y)dx+Q(x，y)dy。即只要证明按偏导数的定义，有由（6）式，得由于这里的曲线积分与路径无关，可以先从M0到M，然后沿平行于x轴的直线段从M到N作为上式右端曲线积分的路径（如图）。这样就有N(x+△x,y)

8、xOyM0(x0,y0)GM(x，y)从而因为直线段MN的方程为y=常数，按对坐标的曲线积分的计算法，上式成为应用定积分中值定理，得上式两端除以Δx，并令Δx→0取极限。由于P(x，y)的偏导数在G内连续，P(x，y)本身也一定连续，于是得同理可证这就证明了条件（5）是充分的。证毕。2)．