格林公式及应用(V)

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1、2Gyxo一、曲线积分与路径无关的定义BA如果在区域G内3二.平面曲线积分与路径无关等价条件定理2.设D是单连通开区域,在D内具有一阶连续偏导数,(1)沿D中任意分段光滑闭曲线L,有(2)对D中任一分段光滑曲线L,曲线积分(3)(4)在D内每一点都有与路径无关,只与起止点有关.函数则以下四个条件等价在D内是某一函数的全微分,即4(1)沿D中任意分段光滑闭曲线L,有(2)对D中任一分段光滑曲线L,曲线积分与路径无关,只与起止点有关.证明(1)(2)设为D内任意两条由A到B的有向分段光滑曲线,则5(3)在D内是某一函数的全微分,即(2)对D中任一分段光滑曲线L,曲线积分

2、与路径无关,只与起止点有关.证明(2)(3)在D内取定点因曲线积分则同理可证因此有。。。和任一点B(x,y),与路径无关,设6(3)在D内是某一函数的全微分,即(4)在D内每一点都有证明(3)(4)设存在函数u(x,y)使得则P,Q在D内具有连续的偏导数从而在D内每一点都有7(1)沿D中任意分段光滑闭曲线L,有(4)在D内每一点都有设L为D中任一分段光滑闭曲线,所围区域为(如图),因此在上利用格林公式,得证明(4)(1)8二.平面曲线积分与路径无关等价条件定理2.设D是单连通开区域,在D内具有一阶连续偏导数,(1)沿D中任意分段光滑闭曲线L,有(2)对D中任一分段光

3、滑曲线L,曲线积分(3)(4)在D内每一点都有与路径无关,只与起止点有关.函数则以下四个条件等价在D内是某一函数的全微分,即9说明:若在某区域内有则(2)求曲线积分时,可利用格林公式简化计算,(3)求全微分Pdx+Qdy在域D内的原函数:及动点或则原函数为若积分路径不是闭曲线,可添加辅助线;取定点(1)计算曲线积分时,可选择方便的积分路径;10解：因为即不含原点的单连通域，积分与路径无关。取新路径11其参数方程为12例2.验证是某个函数的全微分,并求出这个函数.证:设则由定理2可知,存在函数u(x,y)使。。13例3.验证在右半平面(x>0)内存在原函数,并求出它.

4、证:令则由定理2可知存在原函数。。14。。或15故积分路径可取圆弧例4.设质点在力场作用下沿曲线L:由移动到求力场所作的功W.(其中)解:令则有曲线积分在除原点外的单连通开区域上与路径无关,思考：积分路径是否可以取为什么？16设函数平面上具有一阶连续偏导数，曲线积分与路径无关，并且对任意t恒有解：由积分与路径无关的条件知17两边对t求导得18三、全微分方程及其求法1.定义:则若有全微分形式例如全微分方程或恰当方程所以是全微分方程.192.解法:(1)应用曲线积分与路径无关.通解为(2)用直接凑全微分的方法.为全微分方程20例1.求解解:因为故这是全微分方程,取则有

5、因此方程的通解为21例2.求解解:因为所以这是一个全微分方程.用凑微分法求通解.将方程写为即故原方程的通解为或22解是全微分方程,原方程的通解为例323解是全微分方程,将左端重新组合原方程的通解为例424二、积分因子法定义:问题:如何求方程的积分因子?25思考:如何求解方程这不是一个全微分方程,就化成对一个非全微分方程,若有一个适当的函数使为全微分方程,在简单情况下,求积分因子可凭观察和经验得到.则称函数为原方程的积分因子.但若在方程两边同乘例2的方程.26常用的微分倒推式有27例5求解解:分项组合得即选择积分因子同乘方程两边,得即因此通解为即因x=0也是方程的解,

6、故C为任意常数.微分倒推公式28解将方程左端重新组合,有例6求微分方程原方程的通解为29解将方程左端重新组合,有原方程的通解为可积组合法例7求微分方程30内容小结1.格林公式2.等价条件在D内与路径无关在D内有对D内任意闭曲线L在D内有设P,Q在D内具有一阶连续偏导数,则有3132思考与练习1.设且都取正向,问下列计算是否正确?提示:时332.设求提示:34练习题35363738练习题答案39