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1、分类与整合思想例析1.分类与整合的思想的含义分类与整合的思想,就是当问题所给的对象因一些不确定的因素而不能进行统一研究时(如不能用同一种标准,或同一种运算,或同一个类型,或同一个定理,或同一种方法去解决等),就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答.实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的解题策略.分类讨论既是一种重要的数学方法，也是一种重要的数学思想．对问题实行分类与整合,确定分类标准后等于增加了一个已知条件,实现了有效增设,将大问题(
2、或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题),优化解题思路,降低问题难度.2.运用分类与整合思想解题的基本步骤：确定对象→合理分类→逐类讨论→归纳总结。(1)明确讨论的对象及对象的全体：即对哪个参数进行讨论,参数的取值范围是什么；(2)对所讨论的对象进行合理分类(分类时要做到不重复、不遗漏、标准要统一、分层不越级即实行多次分类时，必须逐级进行，不得越级)；(3)逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决；(4)归纳总结：将各类情况总结归纳3.明确引起分类讨论的原因，有利于掌握分类整合的思想方法解决问题.分类讨论的主要原
3、因有：(1)由数学概念引起的分类讨论：有些数学概念本身就是以分类形式定义的，如直线与平面所成的角、三角函数值所在象限的符号、绝对值等．有些数学概念本身也有一定的限制，如直线的斜率，二次曲线中又包括椭圆、双曲线及抛物线，如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线与平面所成的角、直线的斜率与倾斜角、两条直线所成的角，指数函数,对数函数,空集，直线的截距式等.(2011年高考江苏卷11)已知实数，函数，若，则a的值为________(2011福建文11)设圆锥曲线I’的两个焦点分别为F1，F2，若曲线I’上存在点
4、P满足：：=4:3:2，则曲线I’的离心率等于A.B.C.D.解析：当曲线为椭圆时；当曲线为双曲线时，答案选A(2011年高考江苏卷11)已知实数，函数，若，则a的值为________【答案】(2)由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零、偶次方根为非负、对数中真数与底数的要求、不等式中两边同乘以一个正数、负数对不等号方向的影响，三角函数的定义域，一元二次方程解的情况是按“∆”的正负给出的等；(2011北京14)设R)。记为平行四边形ABCD内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的
5、点，则；的所有可能取值为。【答案】66，7，8，【解析】：在,,时分别对应点为6,8,7。在平面直角坐标系中画出平行四边形，其中位于原点，位于正半轴；设与边的交点为，与边的交点为，四边形内部（不包括边界）的整点都在线段上，线段上的整点有3个或4个，所以，不难求得点，①当为型整数时，都是整点，②当为型整数时，，都不是整点，③当为型整数时，，都不是整点，（以上表述中为整数）上面3种情形包含了的所有整数取值，所以的值域为{6，7，8}(3)由函数的性质、定理、公式的限制引起的分类讨论:有的数学性质、定理、公式是分类给出的
6、,在不同的条件下有不同的结论，或者在一定的条件下才成立，这时要小心，应根据题目条件确定是否分类讨论。如等比数列的前n项和公式，一次函数，二次函数，指数函数，对数函数的单调性，等。(4)由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图像类型，位置需要分类，如角的终边所在的象限，立体几何中的点线面的位置关系，二次函数对称轴位置的变动，函数问题中区间的变动，函数图象形状的变动，直线由斜率引起的位置变动，圆锥曲线由焦点引起的位置变动或离心率引起的形状变动等。(5)由参数的变化引起的分类讨论，某些含参数的问题，如含参数的函数，方程，不
7、等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或者由于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法；(2011北京18)已知函数。（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）求在区间上的最小值。【解析】：（Ⅰ）令，得．与的情况如下：x（）（—0+↗↗所以，的单调递减区间是（）；单调递增区间是（Ⅱ）当，即时，函数在[0，1]上单调递增，所以（x）在区间[0，1]上的最小值为当时，由（Ⅰ）知上单调递减，在上单调递增，所以在区间[0，1]上的最小值为；当时，函数在[0，1]上单调递减，所以在区间[0，1]上的最小值为(2011年高考天津卷文科19
8、)（本小题满分14分）已知函数其中.（Ⅰ）当时,求曲线在点处的切线方程;(Ⅱ)当时,求的单调区间;(Ⅲ)证明:对任意,在区间(0,1)内均在零点.【解析】（Ⅰ）当时,,所以曲线在点处的切线方程为.(Ⅱ)令,解得或,因为,以下分两种情况讨论:(1)若,则.当变化时,,的变化情况如下表:+-+所以的单调递增区间是,;的单调递减区间是.+-+(2)若,则.当变化时
