数学思想方法之分类与整合学案

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1、数学思想方法之分类与整合学案　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2007年12月12日星期三　引言：分类是自然科学乃至社会科学研究中的基本逻辑方法，是研究数学问题时经常使用的数学思想方法。要正确地对事物进行分类，通常应从所研究的具体问题出发，选取恰当的分类标准，然后根据对象的属性，把它们不重不漏地划分为若干个类别。科学的分类，一个是标准的统一，一个是不重不漏。划分只是手段，分类研究才是目的。因此，还需要在分好的类别下对分事物进行研究，在这其中体现的是由大化小，由整体化部分，由一般化特殊的解决问题的方法。它的研究基本方向是“

2、分”，但“分”与“合”既是矛盾的对立面，又是矛盾的统一体，有“分”必然有“合”，当分类解决完这个问题之后，还必须把它们总合到一起，因为我们研究的毕竟是这个问题的全体。这样，有“分”有“合”，先“分”后“合”，不仅是分类与整合思想解决数学问题的主要过程，也是分类与整合思想的本质属性。高考将对分类与整合思想的考查放在了比较重要的位置，并以解答题为主进行考查。考查时要求考生理解什么样的问题需要分类研究，为什么要分类，如何分类以及分类后如何研究，最后如何整合。考查中经常对含有字母参数的数学问题进行分类与整合的研究，由此重点考查考生思维的严谨

3、性与周密性。课题　分类与整合的思想关键词　分类　标准　讨论　整合　　一、从庖丁解牛（目无全牛）谈起有一个名叫庖丁的厨师替梁惠王宰牛，手所接触的地方，肩所靠着的地方，脚所踩着的地方，膝所顶着的地方，都发出皮骨相离声，刀子刺进去时响声更大，这些声音没有不合乎音律的。它竟然同《桑林》、《经首》两首乐曲伴奏的舞蹈节奏合拍。　梁惠王说：“嘻！好啊！你的技术怎么会高明到这种程度呢？”10庖丁放下刀子回答说：“臣下所探究的是事物的规律，这已经超过了对于宰牛技术的追求。当初我刚开始宰牛的时候，（对于牛体的结构还不了解），看见的只是整头的牛。三年之后

4、，（见到的是牛的内部肌理筋骨），再也看不见整头的牛了。现在宰牛的时候，臣下只是用精神去接触牛的身体就可以了，而不必用眼睛去看，就象感觉器官停止活动了而全凭精神意愿在活动。顺着牛体的肌理结构，劈开筋骨间大的空隙，沿着骨节间的空穴使刀，都是依顺着牛体本来的结构。宰牛的刀从来没有碰过经络相连的地方、紧附在骨头上的肌肉和肌肉聚结的地方，更何况股部的大骨呢？技术高明的厨工每年换一把刀，是因为他们用刀子去割肉。技术一般的厨工每月换一把刀，是因为他们用刀子去砍骨头。现在臣下的这把刀已用了十九年了，宰牛数千头，而刀口却象刚从磨刀石上磨出来的一样。牛

5、身上的骨节是有空隙的，可是刀刃却并不厚，用这样薄的刀刃刺入有空隙的骨节，那么在运转刀刃时一定宽绰而有余地了，因此用了十九年而刀刃仍象刚从磨刀石上磨出来一样。虽然如此，可是每当碰上筋骨交错的地方，我一见那里难以下刀，就十分警惧而小心翼翼，目光集中，动作放慢。刀子轻轻地动一下，哗啦一声骨肉就已经分离，象一堆泥土散落在地上了。我提起刀站着，为这一成功而得意地四下环顾，一副悠然自得、心满意足的样子。拭好了刀把它收藏起来。”梁惠王说：“好啊！我听了庖丁的话，学到了养生之道啊。”“目无全牛”这个故事告诉我们：当我们掌握事物的规律后，办起事来就会

6、得心应手，运用自如。对于数学的学习，“目无全牛”这则寓言揭示了：当我们对一个问题的整体无法下手时，可以通过研究问题的组成结构，“化整为零、个个突破”，逐步地去解决问题。它体现了一种重要的数学思想方法：分类与整合的思想。在数学学习中，引起分类讨论原因，通常有以下几种：1.涉及的数学概念是分类定义的（如绝对值的概念，P点分线段的比等）；2.公式、定理、性质或运算法则的应用范围受到限制；例如等比数列的求和公式就分为和两种情况;对数函数的单调性就分为＞，＜两种情况;直线方程分为斜率存在与不存在等等；3.几何图形中点、线、面的相对位置不确定；

7、例如两点在同一平面的同侧,异侧。4.求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能性；如排列组合的计数问题,概率问题又要按题目的特殊要求，分成若干情况研究；5.数学问题中含有参变量，这些参变量的不同取值会导致不同结果．分类讨论与整合的一般步骤是：1.确定讨论对象和确定研究的全域；2.进行科学分类（按照某一确定的标准在比较的基础上分类），“比较”是分类的前提，“分类”是比较的结果．分类时，应不重复，不遗漏；3.逐类讨论；4.归纳小结，整合得出结论．10二、分类与整合的思想应用举例1．由概念的定义引起的分类讨论【例1】(06辽宁)已知函数,

8、则的值域是(A)(B)(C)(D)【解析】即等价于，故选择答案C。【点评】本题考查绝对值的定义、分段函数、三角函数等知识，同时考查了分类讨论思想和估算能力。【例2】(05浙江)已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)＝