资源描述：
《高一数学 分类与整合思想方法的常见应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、分类与整合思想方法的常见应用分类是自然科学乃至社会科学研究的基本逻辑方法.在解答数学题时,有时会出现这样情形，由于被研究的问题包含了多种情况，不能以统一的方法、统一的式子进行解决，这就要求在条件所给出的总区域内，正确划分若干个子区域，然后分别在每个子区域内把问题解决，这里集中体现的是由大化小,由整体化为部分,由一般化为特殊的解决问题的思想方法.“分”与“合”既是矛盾的对立面，又是矛盾的统一体，有“分”必有“合”.当分类解决问题之后，还必须把它们综合在一起，这种先“分”后“合”的解决问题的过程，就是分类与整合的思想方
2、法.实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略.分类讨论的基本原则是:不重不漏,科学合理.高考数学将分类与整合思想的考查放在了比较重要的位置，主要以解答题的形式出现.要求考生明确何种问题需要分类,如何分类,分类后如何研究,最后如何整合.考查的主要题型是含有字母参数的数学问题.分类讨论的渊源很多，下面以引发分类讨论的不同渊源进行分类解析.1.由数学概念引起的分类讨论.如绝对值的定义、二次函数的定义、直线与平面所成的角、直线的倾斜角等.例1函数在上有最大值，求实数的取值范围.分析：此函数的类型不确定
3、，需要分类讨论.当时，是一次函数且单调递增;当时,是二次函数,单调性与的取值有关,需要继续分类.用配方法或导数求二次函数的最值.解:(1)当时，在上为单调增函数，最大值为，满足题意.(2)当时，函数，其对称轴为.①当时，在上为单调增函数，最大值为，满足题意;②当时，当即时，在上为单调增函数，最大值为，满足题意.综上所述：当时，函数在上有最大值.点评：在该题的分类讨论中,有两个层次,第一层是确定函数类型,即是一次函数还是二次函数.第二层是二次函数的开口方向,即开口向上还是向下.由于每一类中的都符合题意,所以整合时,把
4、每一类型中的范围取并集,得到最终答案.变式练习1.已知等比数列中,分别是某等差数列的第5项，第3项，第2项，且，公比；设，求数列的前n项和.2.由数学运算要求引起的分类讨论.如除法运算中除数不为零、偶次方根为非负、对数中真数与底数的要求、不等式中两边同乘以一个正数、负数对不等号方向的影响等.例2设函数，若对于任意的都有成立，求实数的值为.分析：对于任意的都有恒成立求参数的范围问题，可将参数分离出来.在分离时,需要对等于零,为正,为负分别进行.分离出之后,通过求导研究不等式右边关于的函数，判断其单调性并求出其最值.解
5、：若，则不论取何值，≥0显然成立,所以；当即时，≥0可化为：,设，则，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，因此，从而≥4；当x＜0即时，≥0可化为，,在区间上单调递增，因此,从而≤4，综上所述得＝4.点评:本题是不等式恒成立问题,需要将参数分离出来，转化为研究函数的最值.在分离参数时,需要在不等式的两边同乘以式子.根据不等式的运算性质,需要明确所乘式子的符号,所以要对是否为零及其符号进行分类讨论.由于是对自变量展开讨论,所以在整合时,要把的三个范围取交集.变式练习2.已知函数在上的最大值比最小值大1，则a等于A
6、．B．C．或D．不同于A、B、C答案3.由函数的性质及定理、公式的限制引起的分类讨论例3.已知数列、（Ⅰ）若是等比数列，试求数列的前n项和；（Ⅱ）当是等比数列时，甲同学说：一定是等比数列；乙同学说：一定不是等比数列,你认为他们的说法是否正确？为什么？分析:在（Ⅰ）中，欲求数列的前n项和，需要研究该数列的性质.由发现该数列为等比数列,但求和时要注意前项和公式的选择即对公比进行讨论.在（Ⅱ）中，需要由的性质进一步研究的性质，对其是否为等比数列作出判断.解：（I）因为是等比数列,所以.又即是以a为首项,为公比的等比数列.
7、（II）甲、乙两个同学的说法都不正确，理由如下：设的公比为，则又…是以1为首项，为公比的等比数列，…是以a为首项，为公比的等比数列，即为：.当时，是等比数列；当时，不是等比数列.注:该问亦可以用举特例的办法进行判断.点评:该题两问的解答中都对公比进行了讨论.第一问中,讨论的渊源是公比不同,等比数列前项和公式形式不同.第二问中讨论的原因是,的公比取值不同,的性质不同.变式练习3:解关于的不等．4.由图形的不确定性引起的分类讨论例4设为椭圆的两个焦点，P是椭圆上的一点.已知是一个直角三角形的三个顶点，且，求的值.分析:
8、本题考查圆锥曲线的性质.因为是一直角三角形的三顶点，且，则直角顶点有两种可能性：点或点，故有两解.解:由已知得,.①若为直角，则,解得,,所以=.②若为直角，则
9、F1F2
10、2=
11、PF1
12、2+
13、PF2
14、2，得，，故.点评:该题由直角三角形的形状不确定即直角的位置不确定,引发了两方面的讨论,解题时要注意考虑全面.变式练习4.设一双曲线的两条渐近线方程为，此双曲线
