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1、*§4场论初步在物理学中,曲线积分和曲面积分有着广泛的应用.物理学家为了既能形象地表达有关的物理量,又能方便地使用数学工具进行逻辑表达和数据计算,使用了一些特殊的术语和记号,在此基础上产生了场论.一、场的概念返回五、管量场与有势场四、旋度场三、散度场二、梯度场一、场的概念若对全空间或其中某一区域V中每一点M,都有一个数量(或向量)与之对应,则称在V上给定了一个数量场(或向量场).例如:温度和密度都是数量场,M的位置可由坐标确定.因此给定了某个数量场就总是设它对每个变量都有一阶连续偏导数.同理,每重力和速度都是向量场.在引进了直角坐标系后
2、,点等于给定了一个数量函数在以下讨论中个向量场都与某个向量函数相对应.这里P,Q,R为所定义区域上的数量函数,并假定它们有一阶连续偏导数.设L为向量场中一条曲线.若L上每点M处的切线方向都与向量函数在该点的方向一致,即磁力线等都是向量场线.注场的性质是它本身的属性,和坐标系的引进无关.引入或选择某种坐标系是为了便于通过数学方法来进行计算和研究它的性质.则称曲线L为向量场的向量场线.例如电力线、二、梯度场在第十七章§3中我们已经介绍了梯度的概念,它方向上的方向导数.gradu是由数量场u派生出来的一个向量场,称为是由数量函数所定义的向量函
3、数gradu的方向就是使方向导梯度场.由前文知道,数达到最大值的方向,就是在这个方因为数量场的等值面的法线方向为所以gradu恒与u的等值面正交.当把它作为运算符号来看待时,梯度可写作引进符号向量1.若u,v是数量函数,则2.若u,v是数量函数,则特别地有梯度有以下一些用表示的基本性质:注通常称为哈密顿(Hamilton)算符(或算子),读作“Nabla”.4.若5.若则这些公式读者可利用定义来直接验证.3.若则解若以上的单位向量,则有例1设质量为m的质点位于原点,质量为1的质点位于记它表示两质点间的引力,方向朝着原点,大小与质量的乘积
4、成正比,与两点间距离的平方成反比.这说明了引力场是数量场的梯度场,因此常称为引力势.三、散度场为V上的一个向量场.称如下数量函数:设为的散度.这是由向量场派生出来的一个数量场,也称散度场,记作高斯公式可写成如下向量形式:设为曲面S在各点的单位法向量,记,称为S的面积元素向量.于是对上式中的三重积分应用中值定理,使得在V中任取一点令V收缩到这个等式可以看作是散度的另一种定义形式.则同时有对上式取极限,得到的不可压缩流体,经过封闭曲面S的流量是于是(2)式表明是流量对体积V的变化率,若说明在每一单位时间内有一定数散度的物理意义联系本章§2中
5、提到的,流速为并称它为在点的流量密度.称这点为“汇”.容易由定义直接推得散度的以下一些基本性质:量的流体流出这一点,则称这一点为“源”.若说明流体在这一点被吸收,则若在每一点都有则称为“无源场”.的散度也可表示为矢性算符与的数性积:3.若是一数量函数,则算符于是1.若是向量函数,则2.若是数量函数,是向量函数,则例2求例1中引力场所产生的散度场.解因为所以因此引力场在每一点处的散度都为零(除原点没有定义外).为V上的一个向量场.称如下向量函数:设场,也称旋度场,记作四、旋度场为的旋度.是由向量场派生出来的一个向量为便于记忆起见,可用行列
6、式形式来表示旋度:类似于用散度表示的高斯公式(1),现在可用旋度来表示斯托克斯公式:其中为前述对于曲面S的面积元素向量;而则是对于曲线L的弧长元素向量.对后者说明如下:设是曲线L在各点处的正向单位切向量,弧长元素向量即为把公式(3)改写成对上式中的曲面积分应用中值定理,使得在S上任取一点令S收缩到这个等式也可以看作是旋度的另一种定义形式.则同时有对上式取极限,得到为了由(5)式直观描述旋度的物理意义,不妨将其中的曲面块S改换为平面区域D(图22-12),这时(5)式又被改写为在流速场中,曲线积分是沿闭曲线L的环流量,它表示流速为的不可压
7、缩流体,在单位时间内沿曲线L流过的总量.这样,就反映了流体关于L所围面积的平均环流密度.当时,(6)式右边这个极限,就是流速场在点处按右手法则绕的环流密度.另一方面,(6)式左边的是在上的投影.由此可见,当所取的与同向时,该投影为最大.综合起来就可以说:这同时指出了旋度的两个基本属性:(i)的方向是在点处环流密度最大的方向;(ii)即为上述最大环流密度的数值.在上的投影.”“流速场在点处绕的环流密度,等于旋度为了更好地认识旋度的物理意义及这一名称的来源,我们讨论刚体绕定轴旋转的问题.设一刚体以角速与旋转方向符合右手法则.当时,称向量场为
8、“无旋场”.度绕某轴旋转,则的方向沿着旋转轴,其指向若取定旋转轴上一点O作为原点(图22-13),刚体上任意一点P的线速度可表示为其中是P的径向量,设P的坐标为,便有又设于是就是旋转的角速度这也说明了旋度这
