《工程数学场论》ppt课件

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1、第二章场论第一节场与时间无关的场称为稳定场，否则为不稳定场.1.场:如果在空间或其部分空间的每一点，都对应着某个物理量的一个确定的值，该物理量的一个场.如果该物理量是数量，称它为数量场；如果该物理量是矢量，称它为矢量场或向量场.分别用表示.及则称在该空间定义了关于工程数学---------矢量分析与场论数量场的等值面在数量场中，称曲面为该数量场的等值面.在平面场中，称曲线为它的等值线,如等温线、等高线等.一个等值面通过；等值面族充满了数量场所在的空间，而且互不相交.由于数量场是单值的，所以场中的每一点有且仅有等值面等值线工程数学---------矢量分

2、析与场论3.矢量场的矢量线设C为矢量场中的曲线，如果C矢量线:上每一点对应的矢量都与C相切,则称之为矢量线.设为曲线上一点，因为,所以矢量线满足工程数学---------矢量分析与场论解：矢量线所满足的微分方程为由得又由合比定理例1.求矢量场的矢量线方程.过点可得有将点代入得所以所求矢量线方程为：工程数学---------矢量分析与场论第二节数量场的方向导数与梯度定义1：1.方向导数设是数量场中的一点，存在，则称此极限为在点处沿l方向的方向导数，记作若沿方向l工程数学---------矢量分析与场论定理1:则函数在该点沿任意方向l的方向导数存在,证明:

3、且有得若函数在点处可微，故在点可微,由函数工程数学---------矢量分析与场论定义2：设是数量场中的一点，存在，则称此极限为在点处沿曲线C(正向)的记作若沿曲线C之正向方向导数，定理2:曲线C光滑，若在点处函数可微、l为C在处的切线方向（正向），则工程数学---------矢量分析与场论例1.在点是曲面设处指向下侧的法向量，求函数在点M处沿的方向导数.解:方向余弦为而法向量为所以所以工程数学---------矢量分析与场论例2.朝x增大方向的方向导数.解:将已知曲线用矢量形式表示为它在点P的切向量为在点P(2,3)沿曲线求函数工程数学-------

4、--矢量分析与场论梯度记作gradu,即定义：称向量为数量场u(M)在设有矢量场在点处,点M处的梯度,引入哈密顿算子：有工程数学---------矢量分析与场论性质：方向：u变化率最大的方向模:u的最大变化率之值1)2)3)为等值面在点M处的法向量，u(M)增大的一方.指向数量场注：称为由数量场u产生的梯度场.矢量场工程数学---------矢量分析与场论运算公式工程数学---------矢量分析与场论例3.证:试证处矢径r的模,工程数学---------矢量分析与场论例4.作出数量场所产生的梯度场的矢量线.解:数量场所产生其矢量线满足微分方程所以矢量

5、线方程为：的梯度场为工程数学---------矢量分析与场论第三节矢量场的通量与散度定义：1.通量简单曲线:没有重点的连续曲线；简单曲面:没有重点的连续曲面；设有矢量场，中有向曲面S某一侧的曲面积分向积分所沿一侧叫做矢量场穿过曲面S的通量.沿其工程数学---------矢量分析与场论设又所以通量为当>0时,当<0时,当=0时,不能判定S内有无源.表明S内有正源;表明S内有负源;通量的物理意义通量的表示工程数学---------矢量分析与场论例1.解:设由矢径构成的矢量场中，有一由圆锥面及平面所围成的封闭曲面S,试求从S内穿出S的通量.由奥-高公式

6、工程数学---------矢量分析与场论2.散度定义：存在，则称此极限为在点处的散度，记作若设有矢量场，表明该点处有正源,表明该点处有负源,表明该点处无源,散度绝对值的大小反映了源的强度.若向量场A处处有,则称A为无源场.说明:散度是通量对体积的变化率,且工程数学---------矢量分析与场论定理:在任一点M(x,y,z)的散度为在直角坐标系中，矢量场证明：由奥-高公式工程数学---------矢量分析与场论又由中值定理得所以其中为中的某一点,工程数学---------矢量分析与场论推论1：奥-高公式的矢量形式推论2：若在封闭曲面S内处处有，则推论3

7、：或这些点的任一封闭曲面的通量都相等.若在矢量场内某些点上有，不存在，而在其他点上，则穿出包围工程数学---------矢量分析与场论例2.解:求矢量场所产生的散度场,并求此散度场通过点M(2,-1,1)的梯度。令工程数学---------矢量分析与场论散度的运算公式工程数学---------矢量分析与场论例3.解:已知求由基本公式得由于故工程数学---------矢量分析与场论第四节矢量场的环量及旋度定义：1.环量设有矢量场，封闭有向曲线l按积分所取方向沿曲线l的环量.叫做矢量场沿其中通量表示的曲线积分工程数学---------矢量分析与场论例1.解

8、:设有平面矢量场l为场中的星形线求沿l正向的环量工程数学---------矢量分析与场论2.环