曲线、曲面积分及场论初步

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1、一.设内有连续的导函数,求    其中L为从点A到点B(1,2)的直线段.解., , 于是积分与路径无关. = =二.计算,其中L为过(0,0),(0,1),(1,2)三点的圆周.解., . ,于是积分与路径无关.三.计算,L(AMB)是上半圆周.A,B的坐标分别为(1,0)和(7,0).解.    =    =.四.计算,其中2为常数,AB为上的一段弧,BC为上的一段弧.解.     =     =     =五.计算,其中L为连结的曲线弧段.解.,    ,于是该积分等于沿直线AB()由1到2的积分. =六.计算,其中AB

2、是沿椭圆的正向从A(a,0),B(0,b)的一段弧.解.对于函数,, .所以  , 于是  =七.计算 (b>0),其中L是依次连结的有向折线(已知解.   =   =   所以          =八．设平面与椭圆柱面相截，求其在及xoy平面之间的椭圆柱面的侧面积.解.椭圆的参数方程为, . 所求侧面积 =  =九.计算,其中为连续函数,AnB为连结点的任何路径,但与直线段AB围成的图形AnBA有定面积S.解.            =    =    =         解中第三行到第四行是因为=,BA直线方程为.十.计算

3、,其中AMB是通过点的半圆周(.解.    =    ==十一.计算,其中L是圆周,若从z轴正向看去,这个圆周取逆时针方向.解.方法一:曲线L的参数方程为.所以 =.方法二:由斯托克斯定理 = =.十二.计算.解.设表示上半球面:      表示下半球面: 所以              +      =0.十三.计算所围立体的外侧.解.方法一:S=.其中为锥面的外侧,为平面的外侧,为平面的外侧.                ===++ =方法二:使用奥—高公式 (使用先做y,z的二重积分再做x的积分) =十四. 求处沿曲线

4、：,在处的切线方向的方向导数.解.,, 所以方向矢量.方向余弦为,于是.