G 22-4 场论初步.ppt

《G 22-4 场论初步.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、寄语今日的数学，已不再是幕后英雄，而是直接活跃在技术革命第一线屡建奇功、大显神威的主力军。“数学技术”已广泛渗透并应用于各部门各行业—包括物理学科之中，为这些部门与行业带来了新的活力。树的影子再长，也是和树根连在一起的，同学们将来站的再高、走的再远和数学—包括数学分析—是密不可分的。1第22章第一节、第一型曲面积分(或：对面积的曲面积分)第三节、高斯(Gauss)公式与斯托克(Stokes)公式曲面积分第22章本章内容：第二节、第二型曲面积分(或：对坐标的曲面积分)第四节、场论初步2第3节场论初步一、场的概念二、梯度场第22章本节内容：三、散度场四、旋

2、度场五、管量场与有势场（略）3一、场的概念函数(物理量的分布)数量场(数性函数)场向量场(矢性函数)可微函数梯度场(势)如:温度场,电位场等如:力场,速度场等(向量场)若对全空间或其中某一区域V中每一点M，都有一个数量（或向量）与之对应，则称在V上给定了一个数量场（或向量场）。4二、梯度场方向导数公式令向量这说明方向：f变化率最大的方向模:f的最大变化率之值方向导数取最大值：51.定义即同样可定义二元函数称为函数f(P)在点P处的梯度记作(gradient),在点处的梯度说明:函数的方向导数为梯度在该方向上的投影.向量2.梯度的几何意义6函数在一点的梯

3、度垂直于该点等值面(或等值线),称为函数f的等值线.则L*上点P处的法向量为同样,对应函数有等值面(等量面)当各偏导数不同时为零时,其上点P处的法向量为指向函数增大的方向.7三、散度场引例.设稳定流动的不可压缩流体的密度为1,速度场为理意义可知,设为场中任一有向曲面,单位时间通过曲面的流量为则由对坐标的曲面积分的物由两类曲面积分的关系,流量还可表示为8若为方向向外的闭曲面,当>0时,说明流入的流体质量少于当<0时,说明流入的流体质量多于流出的,则单位时间通过的流量为当=0时,说明流入与流出的流体质量相等.流出的,表明内有泉;表明

4、内有洞;根据高斯公式,流量也可表为（1）9方向向外的任一闭曲面,记所围域为,设是包含点M且为了揭示场内任意点M处的特性,在(1)式两边同除以的体积V,并令以任意方式缩小至点M则有此式反应了流速场在点M的特点:其值为正,负或0,分别反映在该点有流体涌出,吸入,或没有任何变化.10定义:设有向量场其中P,Q,R具有连续一阶偏导数,是场内的一片有向则称曲面,其单位法向量n,为向量场A通过有向曲面的通量(流量).在场中点M(x,y,z)处称为向量场A在点M的散度.记作divergence11表明该点处有正源,表明该点处有负源,表明该点处无源,散度

5、绝对值的大小反映了源的强度.若向量场A处处有,则称A为无源场.例如,匀速场故它是无源场.说明:由引例可知,散度是通量对体积的变化率,且12例1.置于原点,电量为q的点电荷产生的场强为解:计算结果与仅原点有点电荷的事实相符.13四、旋度场斯托克斯公式设曲面的法向量为曲线的单位切向量为则斯托克斯公式可写为14令,引进一个向量记作向量rotA称为向量场A的称为向量场A定义:沿有向闭曲线的环流量.或于是得斯托克斯公式的向量形式:旋度.rotation15设某刚体绕定轴l转动,M为刚体上任一点,建立坐标系如图,则角速度为,点M的线速度为(此即“旋度”一词

6、的来源)旋度的力学意义:16向量场A产生的旋度场穿过的通量注意与的方向形成右手系!为向量场A沿的环流量斯托克斯公式的物理意义:例2.求电场强度的旋度.解:(除原点外)这说明,在除点电荷所在原点外,整个电场无旋.17的外法向量,计算解:例3.设18向量微分算子定义向量微分算子:它又称为▽(Nabla)算子,或哈密顿(Hamilton)算子.则19则高斯公式与斯托克斯公式可写成:20-----场论中的三个重要概念设梯度:散度:旋度:则内容小结21思考与练习则提示:三式相加即得22作业P3042;4;7;823