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1、Stokes公式与场论初步(2)1二、Stokes公式的向量形式、场论初步1.梯度、散度、旋度梯度(Gradient)定义1实函数的梯度场梯度的实际意义——总是指向在点处的最大方向导数的方向2表示在该方向上变化最迅速(最快)。周围更暖处，必须沿的方向移动。例如，表示温度数量场，为了从(x,y,z)点处出发，想以最快速度抵达的散度定义为定义2散度(Divergence)3向量场的散度原始定义作可以证明，简单地说,散度是单位体积上的发散量的极限，4当散度正源（Sourse）,是吸收通量的负源(Sink)，5
2、定义3向量场的旋度定义为旋度(RotationorCurl)简单地说,旋度是个向量，它的物理意义是场在该向量方向上旋转性的强弱。62.旋度与环量，Stokes公式的向量形式定义4.线积分向量场沿空间有向闭曲线C的称为沿闭曲线C的环量。7利用环量与旋度(它可以从整体上描述场旋或转的强度)，我们可以用向量的形式重写Stokes公式。8由于Green公式可以看作是中的Stokes公式，因这时的写成向量形式：左端为沿平面曲线L的环(流)量。因此Green公式仍可9向量场沿选定方向的曲面S的面积分3.散度与通量，
3、Gauss公式的向量形式定义5称为向曲面指定一侧的通量。通量在物理学中有多种意义,如液体流量，电通量，磁通量等.利用通量及散度,我们也可以用向量形式重写Gauss公式：10有关三“度”——梯度、散度、旋度的运算法则和某些关系公式，略。(需要时请自己去查阅。)4.几种场——无旋场、无源场、调和场无旋场或11(1)若线积分的值在G内与路径无关，其中A,B为G内任意两点；则称为保守场,(2)若在G内恒有,则称为无旋场;有势场，并称为的势函数.定义6设向量场(3)若存在G上的函数，使,则称为12定理4设G是单连
4、域，则以下四个命题等价：是无旋场，即沿G内任意简单闭曲线C的环量与路径无关；是一保守场，即在G内线积分13是一有势场，即在G内存在，作证明.它可以看作是Green公式的推论.以下我们只对定理4的2D空间的情况定理定理设区域则以下四个命题等价：在内,处处成立14沿内沿任一分段光滑简单闭曲线C的线积分在内线积分与路径无关(只与始终点有关)；在内存在以下证明.15区域，以C为其边界曲线。证：我们用循环推证法来证明这四个等价命题.按的顺序证.因在内,处处成立由Green公式，立即有：其中C为内任一分段光滑简单闭
5、曲线，16设A,B为中任意两点，以A为始点,B为终点的任意连续的属于的两条曲线APB和AQB,如果象无其它交点,则因成立，右图两曲线除A,B两点外17若如右图两曲线除A,B两点外还有其它交点,则可从A出发另作一条曲线弧ARB,使其与弧APB和弧AQB均不相交,从而与路径无关.于是证得了线积分只与始终点有关，而与18在成立的条件下，在内任取一定点作始点，动点为终点，从而积分值在与路径无关的条件下，仅是终点(上限)的二元函数。19事实上,只需证变量,取M点使如右图，给一个改利用偏导数定义以下证明,这个恰满足
6、：20应用积分中值定理最后一个等号是因为在上连续.21同理可证：因故在可微，于是最后因即其二阶偏导连续，所以(定理证完)即22定理4(及定理)的重要性在于：给出场论中的一个具有实际意义及数学意义的重要结论，即：无旋场有势场保守场给出了数学上判定保守场的多种方法；特别还给出了求势函数的方法：相当于求某些二元函数的原函数的方法，同时为解全微分方程提供了一种有效的方法。23例4验证向量场是有势场，并求其势函数.解因所以，为有势场。以下介绍两种求势函数方法。在积分与路径无关条件下，选择特殊路径，用线积分求势函数
7、法.方法124此例选积分路径由yxo即：是的一个原函数(势函数)。25其一般表达式为：用偏积分求势函数.要求势函数即亦即先对式，视为定数，两边对积分：方法226这个积分“常数”当然可能是y的函数，故记作将(c)式两端对y求导,并与(b)式比较，得：代入(c)式27例5计算线积分其中C为摆线：上由点到点的有向弧段。解此例若用第二型曲线积分的基本方法计算是很难算的，但由于28现选沿x轴从径使线积分的计算最简单.因此积分与路径无关，于是可选一路的路径29例6求解全微分方程解1全微分方程中，当就称为恰当方程,的
8、方法来解，设则这种方程可以用求偏积分30得由式两边对y求偏导数得:比较,可得将结果与31用线积分的方法求解全微分方程,(求原函数),由于是恰当方程,因此线积分与积分路径无关，故解2故32xoy解3用凑全微分的方法。将改写为：凑成33于是原方程的通解为以下是一些常出现的凑二元函数全微分的表达式34对于保守场(无旋场),若求得势函数线积分可以用类似Newton-Leibniz公式35的方法计算：定义7若向量场中处处有则称为无源场.定理5设为二维
