第四讲 场论初步

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1、第一章引言1.6场论初步——步入微分形式麦克斯韦方程的数学准备第四讲2.场论初步等值面、方向导数与梯度梯度：是矢量，方向为电位变化最陡的方向，即最大方向导数的方向，大小变化最大方向的变化率，即最大方向导数梯度grad=的表达式标量场梯度的物理意义矢量总之：位函数的梯度是一矢量，其方向为位变化最陡的方向，大小为位变化最大方向上的变化率。充分描述了场空间变化特征标量场的梯度充分描述了标量场在空间变化的特征:场中任一点（x,y,z）沿任一方向的变化率（即方向导数）是不一样的。最大变化率（即最大方向导数）的方向就是梯度的方向，最大变化

2、率（即最大方向导数）就是梯度的大小。在任一方向l0的投影（·l0）就是该方向的变化率（即该方向的方向导数）。因此梯度是描述标量场随空间变化特性非常好的一个物理量。经过梯度运算，可由一个标量场得到一个矢量场矢量场的通量通量的定义：场矢量A沿有向曲面S的曲面积分。矢量场通量的物理意义如定义An为矢量A在面元法线n方向的投影，则A·ds=Ands；若把A理解为流体的流速，则Ands就表示穿过ds的流量，这就是叫通量的原因。对于闭曲面S，取其外侧为正，则表示A从S流出的通量表示？>0时，<0时，=0时，表示有净流量流出，存在流体源表示有净流量流

3、入，存在流体负源表示没有净流量流出，无净流体源散度divA=·A取一立方体单元，体积为V＝xyz,考虑x方向分量散度divA散度定理拉普拉斯算符2场量梯度的散度拉氏算符2·矢量场A沿有向闭合曲线l的环量矢量场A在闭合线上的线积分定义为A沿l的环量旋度CurlA环量面密度A沿正l方向的环量与面积S在M点处保持以n为法线方向条件下，以任意方式推向M点时，其极限为：这称为矢量场A在M点处沿n方向的环量面密度，它是一个与方向有关的量。旋度CurlA的定义与标量场中梯度与方向导数之间的关系类似，梯度在某一方向上的投影就是该方向的方向导数；当n

4、方向与CurlA方向一致时，得到最大环量在密度。旋度CurlA的计算CBAyz0Dlyz矢量场旋度在一个面积元上的计算旋度CurlA的计算(1)当矩形ABCD0时，即y,z0,这时Ay，Az近似为常数，则：因此旋度CurlA的计算(2)同理：斯托克斯定理有限面积S分解成面元Sn（0），由旋度定义，则有：左边为：右边为：相邻面元交界线上的线积分相互抵消矢量场的分类矢量场的分类(1)亥姆霍兹定理一个矢量场的性质由激发场的源来确定源有两类：散度源（通量源）旋度源（涡旋源）Q:若已知一个矢量场的散度或旋度，能否唯一确定该矢量场？A:能！这就是亥姆霍兹定理

5、如果在体积V内的矢量场A的散度和旋度已知，在V的边界S上A的值也已知，则在V内任一点A的值能唯一确定。（证明略去）据此定理，任一矢量场A能分解为一个无旋场和一个无源场之和。产生场的源(r,t)、J(r,t)怎么表示？产生场的源(r,t)、J(r,t)或其对应复量(r)、J(r)的表示体电荷密度v(r)C/m3面电荷密度s(r)C/m2线电荷密度l(r)C/m点电荷QC体电流密度Jv(r)=v·vA/m2面电流密度Js(r)=s·vA/m线电流密度Jl(r)=l·vA半导体中Jc=vev=veE=eE（电子导电）Jc=vhv=vh

6、E=hE（空穴导电）BYBY:矢量运算的几个恒等关系由梯度、散度、旋度和拉氏算符的定义，可推导出以下矢量运算恒等关系：例题1-9证明：直角坐标系下(A)(·A)-2A解：例题1-10例题1-10(1)小结、复习复习要点算符既是矢量，又有微分运算功能。作用于一标量场可得到一矢量场。作用于一矢量场A，如进行点积运算得到一标量场·A，如果进行一矢积运算可得到一矢量A。标量场的梯度grad是一矢量，其模为最大方向导数，方向为场最大变化率方向grad=矢量场A的散度divA反映矢量场的通量体密度，是一标量。divA=·A，

7、矢量场A的旋度CurlA反映矢量场的环量面密度，是一矢量，其模等于最大环量面密度，最大环量面密度时，曲面法线方向即旋度方向。CurlA=A。矢量运算恒等关系要记牢。复习范围1.6作业(P53)1.41.61.7