一道竞赛题命制的思维历程[1].doc

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1、一道竞赛题命制的思维历程宋良良（江苏省南通市石港初中）ADBCO《中学数学参考（下半月）》在2006年6期和2007年5期刊出的“中学生数学智能通讯赛”中，各有一道命题条件相同而结论不同的几何竞赛题。1.如图1，在梯形ABCD中，AD//BC,BD=BC,AB=AC,BA⊥CA,垂足为A。求证：AB·CD=AD·BC。2.如图1，在梯形ABCD中，AD//BC,BD=BC,AB=AC,BA⊥CA,图1垂足为A，AC与BD相交于点O，则的值为。以上两道赛题的解决都必须分两个步骤进行。ADBCOEF第一步：如图2，过点A、D分别作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E、F。由BA⊥CA，AB=A

2、C，可知∠ABC=∠ACB=45º，AE=BC=BE=EC，由AD//BC，AE//DF，BD=BC，可得DF=AE=BC=BD，进而可知，∠DBC=30º，∠BCD=∠BDC=，图2,.第二步：每一道赛题都有多种不同的方法。第1题的解答解法1：如图2，∽，得。由OC=CD，AB=AC，即得。解法2：如图2，设，则BD=BC=2，AB=AC，即得AB=AC=BC·COS45O=，，AD=EF=BF-BE=，FC=BC-BF=2-，。于是可得AB·CD=AD·BC。ADBCOM解法3：如图3，过点D作DM//AC，交BC的延长线于M。由△DCM∽△BOC，得，由CM=AD，OC=CD，DM=

3、AC=AB，即得AB·CD=AD·BC。解法4：如图3，由△DCM∽△BDM，得。由BD=BC，CM=AD，图3DM=AC=AB，即得AB·CD=AD·BC。在图3中，也可以利用△BDM∽△CDA或过点A作OB的平行线，构造△CDA的相似三角形，从而得到结论。第2题的解答解法1：如图1，由∽，得。由AC=AB，OC=CD得，进而可得，AD·BC2=AB2·BO。于是得。解法2：如图2，解答过程同第1题解法2，于是可得。解法3：利用图形和求值式的特征进行求解。因为。易知，所以，又因为AD=,BO=2()，于是可得，所以。通过对以上两道竞赛题解法的探究发现还有其他一些几何性质。ADBCOH由△

4、AOD∽△ADC，得，即AD2=AO·AC；由△DOC∽△DCB，得，即CD2=OC2=OD·BD，由得。由可知，若过点O作OH⊥BC，垂足为H，则有，于是可得AD=OH。根据这一重要发现，笔者命制了一道几何竞赛题：如图4，在梯形ABCD中，AD//BC，BD=BC，AB=AC，BA⊥CA，垂足为A，AC与BD相交于点O，OH⊥BC，垂足为H。求证：AD=OH。《中学数学教学参考》2010.6陕西师范大学