考前中档题训练一.doc

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1、已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosB＝ccosB＋bcosC.(1)求角B的大小；(2)设向量m＝(cosA，cos2A)，n＝(12，－5)，求当m·n取最大值时，tanC的值．解(1)由题意，sinAcosB＝sinCcosB＋cosCsinB，(2分)所以sinAcosB＝sin(B＋C)＝sin(π－A)＝sinA．(3分)因为0＜A＜π，所以sinA≠0.[来源:学+科+网]所以cosB＝.(5分)因为0＜B＜π，所以B＝.(6分)[来源:学科网ZXXK](2)

2、因为m·n＝12cosA－5cos2A，(8分)所以m·n＝－10cos2A＋12cosA＋5＝－102＋.(10分)所以当cosA＝时，m·n取最大值．此时sinA＝(0＜A＜)，于是tanA＝.(12分)所以tanC＝－tan(A＋B)＝－＝7.(14分)[来源:Zxxk.Com]2．如图，正方形ABCD和三角形ACE所在的平面互相垂直，EF∥BD，AB＝EF.(1)求证：BF∥平面ACE；(2)求证：BF⊥BD.证明(1)AC与BD交于O点，连接EO.正方形ABCD中，BO＝AB，又因为AB＝

3、EF，∴BO＝EF，又因为EF∥BD，∴EFBO是平行四边形，∴BF∥EO，又∵BF⊄平面ACE，EO⊂平面ACE，∴BF∥平面ACE.(7分)(2)正方形ABCD中，AC⊥BD，又因为正方形ABCD和三角形ACE所在的平面互相垂直，BD⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面ACE＝AC，∴BD⊥平面ACE，∵EO⊂平面ACE，∴BD⊥EO，∵EO∥BF，∴BF⊥BD.(14分)某地发生某种自然灾害，使当地的自来水受到了污染．某部门对水质检测后，决定往水中投放一种药剂来净化水质.已知每投放质量为个单位的

4、药剂后，经过天该药剂在水中释放的浓度（毫克/升）满足，其中，当药剂在水中释放的浓度不低于（毫克/升）时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于（毫克/升）且不高于（毫克/升）时称为最佳净化.（1）如果投放的药剂质量为，试问自来水达到有效净化一共可持续几天?（2）如果投放的药剂质量为，为了使在天（从投放药剂算起包括第天）之内的自来水达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量的取值范围.17．解：（1）由题设：投放的药剂质量为，自来水达到有效净化或或，即，亦即，如果投放的药剂质量为，自来水达到有效净化一共

5、可持续天；（2）由题设，，，，，且，且，，，亦即，投放的药剂质量的取值范围为.4．如图，椭圆＋＝1(a＞b＞0)的上，下两个顶点为A，B，直线l：y＝－2，点P是椭圆上异于点A，B的任意一点，连接AP并延长交直线l于点N，连接PB并延长交直线l于点M，设AP所在的直线的斜率为k1，BP所在的直线的斜率为k2.若椭圆的离心率为，且过点A(0,1)．(1)求k1·k2的值；(2)求MN的最小值；(3)随着点P的变化，以MN为直径的圆是否恒过定点？若过定点，求出该定点；如不过定点，请说明理由．解(1)因为

6、e＝＝，b＝1，解得a＝2，所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1.(2分)[来源:学科网]设椭圆上点P(x0，y0)，有＋y＝1，所以k1·k2＝·＝＝－.(4分)(2)因为M，N在直线l：y＝－2上，设M(x1，－2)，N(x2，－2)，由方程知＋y2＝1知，A(0,1)，B(0，－1)，所以KBM·kAN＝·＝，(6分)又由(1)知kAN·kBM＝k1·k2＝－，所以x1x2＝－12，(8分)不妨设x1＜0，则x2＞0，则MN＝x1－x2＝x2－x1＝x2＋≥2＝4，所以当且仅当x2＝－x1＝2时，

7、MN取得最小值4.(10分)(3)设M(x1，－2)，N(x2，－2)，则以MN为直径的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y＋2)2＝0，(12分)即x2＋(y＋2)2－12－(x1＋x2)x＝0，若圆过定点，则有x＝0，x2＋(y＋2)2－12＝0，解得x＝0，y＝－2±2，所以，无论点P如何变化，以MN为直径的圆恒过定点(0，－2±2)．(16分)