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1、圆锥曲线切线作法的一次探究温州中学金长林在解析几何问题中，當遇到有关二次曲线的切线问题，对于这些问题一般都联立方程纽,再利用判别式确定切线方程，而作为代数形式的几何问题能否用几何本身的方法作图來解决呢？对这个问题的思考源于对一个儿何命题的研究，命题如下：命题：过圆外任意一点A引圆的三条割线ABC,ADE,AFG,依次交圆于B,C;D,E;F,G,如图,其屮DC交BE于点H,EF交DG于点L，直线HL交该圆于点丿,K,求证：AK.AJ都是该圆的切线。引理一：设圆0的方程为x2+j2=r2,P(%,儿)为圆0外的一•点，过点P作圆0的两条切线，切点分别为则称线段0R为圆0对应于A的
2、切点弦，则直线QR的方程为：xox+yQy=r2证明：建立直角坐标系，设。(旺,必),/?(工2,旳)，则圆0在0点处的切线方程为:XjX+jjj=r2,因为点P在此直线上,故xQx{+yQy}=r2•••(!)同理山(1),⑵知点Q(xl.yl).R(x2,y?)在I［线xox+joj=r2±,所以直线的方程为:x.x^y.y=r2证明：设EF.GH交于点P,连接AP^CP.引理二：圆的外切四边形的对角线及対边的切点的连线四线共点。设ZHPE=/ZHPA=队ZCPG=y、4/74F山——=—，结合止弦定理得APAPsin0=sin(a-0)sinZAHG~sinZAEF同理得
3、」1「空口1……⑵sinZCGHsinZCFE山弦切角性质可知ZAHG+ZCGH=兀,故sinZAHG=sinZCGH同理sinZAEF=sinZCFE比较⑴（2）可得泌=沁也sin/sin（a-y）易得0=了，故A.P^C三点共线,同理B.P.D三点共线，•••四线共点。有了以上两个引理的帮助，便开始我们的止题吧:引理三：如图，设PAB^PDC为圆0的两条割线，AC.BD交于点X,则点X在圆0対应于P的切点弦上。证明：如图，分别作圆0在A.B.C.D点处的切线，设圆在A,B处的切线交于点Y，圆在处的切线交于点7根据引理2：三点共线，建立直角坐标系,P(x{),y{)),7(
4、x1,j,),T(x2,y2),圆的半径为r,则山引理1知：直线的方程为：x1x+jj=r2因点P在直线AB±,故xox,+j()jj=r2同理xQx2^yQy2=r2易知点y（Xj,y），t（兀2，儿）在直线xox+y（）y=八上，又因为三点共线故点X在直线xox+j0j=r2±,即点X在圆0对应于P的切点弦上。通过以上3个引理的证明就可知道原定理是止确的。结论：单用直尺，过圆外一点可作出过该点的圆的切线。圆的切线的作法以及证明，促使我们进一步思考，能否推广到所有的二次曲线中？命题：圆锥的顶点为p,底而圆所在平面0上一点a向该圆引两条切线，切点分别为艮c,•个平面a截圆锥所得
5、的截而是圆锥曲线，连接PA.PB.PC.PB^PC交该圆锥曲线分别为DE,设P4交a于F，则F0FE为该圆锥曲线的切线。（圆锥的底面可以离顶点任意远）证明：（1）当圆锥曲线为椭圆时，山己知可得P^B.D^A^F共而，设共而于了，P,E,C,4,F共面，设共面于卩，假设FE不是椭圆的切线，则FE与椭圆还有另一个交点7・•E、Fw（pjwEF/.Iw（p,I,E,Fwa连接PI交圆于点N，则NeJ3NePI.PJeq>;Ne(p故N,A,C是0和©的公共点，所以N,A,C三点共线这与AC是底面圆的切线矛盾故FE为该椭圆的切线，同理FD也为椭圆的切线（2）当圆锥曲线是抛物线或双曲线
6、时同理可证（因篇幅关系，略）Q引理：在同一平面内，圆锥曲线外的一•点F向该圆锥曲线引两条割线FGH.FIJ交该圆锥曲线依次分别为G.HJJ，连接HI、GJ交于点N，则点N在该圆锥曲线对应于F的切点弦上。（注：这里切点弦的定义同圆的切点弦的定义）证明：（1）当圆锥曲线是椭圆时，设椭圆在a内，对应的圆在戸内，连接PF交0于A,PG,PH,PJ,PI分别交圆于K,O,0,R,谶KQJR交于点M,图5设P,F,G,H共面于卩，P,F,7,J共面于厂易证A,O,Kw（p,A,O,Kw0，故A9O,K三点共线同理A,7f，e三点共线，即AQ,A0为底而圆的割线，连接OR,QK交于点M设点P
7、,J,Q,K,G确定平面0,点PHORI确定平面连接H7,G/交于点N,•NwGJ,MwQK、・・M,N同理M,N"又所UP,M,N三点共线。设过点A的圆的切线为AS,AT,连接PS,PT交椭圆分别于点X』，则FX^FY为椭圆的切线山己知得点M在直线ST上・.S,T,M,P,X,y在面PTS上,NePM.・・Ne面PTS,且Nwa,又面PSTca=XV,NwXY即点N在该椭圆对应于F的切点弦上。（2）当圆锥曲线是抛物线或戏曲线时同理可证.综上命题得证。由此，我们可以得到一个结论和画法。即过二
