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1、关于圆锥曲线的切线作法的再思考浙江省温州中学陈相友（邮编325014）文［1］、文⑵、文［3］己围绕圆锥曲线的切线给出自己不同的儿何作法，本文就该问题作些许再思考，期望同仁们指正。再思考1：文⑵由一个关于圆的切线判定的平面儿何命题，引伸岀关于圆锥曲线的一类切线的儿何画法命题：命题：如图1,是O的直径，EB是O的切线，直线E4交O于D,点C是线段BE的屮点，那么DC是O的切线。命题如图2,43是椭圆的长轴，过3的直线/丄AB,点D是椭圆上除长轴两端点外任意一点，直线AQ交直线/于点E,点C是线段BE的屮点，那么DC是椭圆的切线。命题2：如图3,4B
2、是双
3、11
4、线的实轴，过〃的直线/丄ABf点。是双Illi线上除实轴两端点外任意一点，直线力D交直线/于点E,点C是线段BE的中点，那么DC是椭圆的切线。命题3：如图4,是抛物线的对称轴，B为顶点，过3的直线/丄AB,点D是抛物线上除顶点外任意一•点，过点D作直线m//AB交直线/于点E,点C是线段BE的屮点,那么DC是抛物线的切线。文［2］已经对引伸推广得到的命题1、命题2、命题3给子论证，而本人以为有必要对三个命题获得的思路的自然之处加以解释。圆里的结论由儿何关系易证，而由圆里的结论推广到椭圆，可以这样理解：椭圆可由长轴圆沿垂直于长轴的方向均
5、匀压缩而得到，乐缩厉屮点仍为屮点，切线仍为切线，故知椭圆屮作法（命题1）成立。由椭圆推广到双曲线是命题1到命题2类似白然过渡，然而抛物线中的命题3的出现则有所不同，因为椭圆、双曲线都有两个焦点和两个顶点（椭圆指长轴的两个顶点），而抛物线只有一个焦点和一个顶点，命题3的作法不同于命题1、2,为什么？必须解释。我的观点是：抛物线作为椭圆向双1111线过渡的曲线可以看作是另一焦点F'（或另一顶点A）位于无穷远处的椭圆或双1111线，这便决定了命题3的DA〃对称轴，因此E点的岀现如同命题1、2屮连接AD交直线/所得一样，使三个命题的思路达致真正的统一。再
6、思考2：文［1］介绍的实质还是先利用椭圆由长轴圆沿垂直于长轴的方向均匀压缩得到，进而抓20住伸缩前厉点N的不动性而得切线作法。如图5,过椭圆方程二+二=1（°〉〃〉0）上点220（兀o,）o）的切线QN的方程为嚳+卑=1,过长轴圆4+4=1±点PU0,）”）的切线crer=1,显然切线0N和切线PN的横截距都等于（即两切线的横截距的不动性）。因而文［1］的切线作法（如图5）不容置疑，文［3］屮抛物线的切线作法（如图6、）自然是情理之屮，但在双曲线的切线作法（如图7）屮，虽然同样也是借助圆（实轴圆）的切线的可作性，然而点N的寻找过程恰恰与椭圆屮点N
7、的寻找过程相反。因此再冋头体味思路，不难发现，在椭圆切线的作图过程屮，长轴圆的借助确实太重要了，原因如下：1.长轴圆可视为特殊的椭圆，它包含己知椭圆，能实现了点0向点P的过渡且切线可作;22.切线QN和切线PN的横截距都等于—•K）于是对于双曲线我们应寻找一支特殊双曲线，它包含已知双曲线，也能实现了点。向点P的过渡且切线可作,且切线QN和切线PN的横截距也都等于—.鉴于如此思考，这支O9OO特殊双曲线是相对于务石十＞心0）的等轴双曲线•哄如。）。下面给出作法:（1）若0为双曲线的顶点，则切线垂直于所在的轴;⑵若Q在任一非顶点处,如图,22先作出等
8、轴双曲线二一£=1（。＞0）及其渐近线y=±x；过点Q作QA丄%轴并延长AQ交等轴双曲线于点P；%1作点F关于渐近线），=无的对称点//,连接OP,0P,易知OP,0P的斜率互为倒数；%1过点P作0P的平行线交工轴于点N,直线PN即为等轴双曲线22二一£=l（d＞0）过点P的切线；YV⑤连接0N,即为双曲线—-^=1(6/>0,/?>0)il点Q的切线。6T作法简析：由已知不妨设点Q(x0,y0)，P(尤(),)))，则点P()b'，如)，22r因为等轴双曲线二一与=1(。〉0)过点P的切线PN方程为驾一与=1,a"crcrcr所以kp科=*,
9、乂％・=学，故kPN=kop.,从而切线PN〃OP,这便说明了作法中步骤④的合理性和正确性。22乂因为双曲线二—匚=l(d>0,b〉0)过点Q的切线方程为辱一卑=1,它与等轴双Illicrlrcrlr22r线二-弓=1(。〉0)过点P的切线PN方程为屿-辱=1具有相同的横截距，即它们cra~cra~都经过点N,从而步骤⑤不容宜疑。本人以为尽管上述作法并没有比文［3］屮双曲线的切线作法简单,但与文［1］介绍的利用椭圆由长轴圆沿垂直于长轴的方向均匀压缩得到，进而抓住伸缩前后点N的不动性而得切线作法一脉相承，有异曲同工之妙，从屮我们也感受到等轴双曲线对
10、于双曲线就如同长轴圆对于椭圆一样那么重要。再思考3：2换一个角度观察上述由切线方程辔土卑=1所得的横截距ON=仝，即XQ③过点B作AB的
