专题四 综合与探究 类型三 类比探究题.doc

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1、类型三　类比探究题例1　(2017·成都)问题背景：如图①，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，作AD⊥BC于点D，则D为BC的中点，∠BAD＝∠BAC＝60°，于是＝＝.迁移应用：(1)如图②，△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC＝∠DAE＝120°，D，E，C三点在同一条直线上，连接BD.①求证：△ADB≌△AEC；②请直接写出线段AD，BD，CD之间的等量关系式；拓展延伸：(2)如图③，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，在∠ABC内作射线BM，作点C关于BM的对称点E，连接AE并延长交BM于点F，连接CE，CF.①证明△CEF是等边三角形；②若AE

2、＝5，CE＝2，求BF的长．,图①),图②)　,图③)例1题图【思路点拨】(1)①易得∠DAB＝∠EAC，再由三角形全等定理证明；②由本题告诉的性质可得DE＝AD，再由线段和差得DE＝DC－EC，进而得DC－EC＝AD，再将EC换成相等的线段DB便可得结论；(2)①由C与E关于BF对称，则BF是CE的垂直平分线，进而得BE＝BC，CF＝EF，∠3＝∠4，∠EFB＝∠CFB，进而证明AB＝BC＝BE，得∠1＝∠2，再进一步得∠2＋∠3＝60°，得∠EFC＝60°，最后便可得结论；②先由已知条件求出GE、EF，进而得GF，再在Rt△BGF中通过解直角三角形得结果．(1)解：①由题

3、意可知：AD＝AE，AB＝AC，∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAB＝∠EAC，∴△ADB≌△AEC(SAS)；②CD＝AD＋BD；【解法提示】∵AD＝AE，∠DAE＝120°，∴DE＝AD，∵DE＝DC－EC，∴DC－EC＝AD，由①知，△ADB≌△AEC，∴EC＝DB，DC－DB＝AD，即CD＝AD＋BD；(2)①证明：如解图，连接BE，作BG⊥AE于点G，∵C、E关于BM对称，∴BE＝BC，CF＝EF，∠3＝∠4，∠EFB＝∠CFB，在菱形ABCD中，∵∠ABC＝120°，AB＝BC，∴AB＝BC＝BE，又∵BG⊥AE，∴∠1＝∠2，∴∠GBF＝∠2＋∠3＝∠ABC＝60°

4、，∵在四边形GBNE中，∠GEN＝360°－∠EGB－∠ENB－∠GBN＝120°，∴∠FEN＝60°，又∵EF＝FC，∴∠ECF＝60°，∴△EFC为等边三角形；例1题解图②∵AE＝5，CE＝2，∴EG＝AE＝，EF＝CE＝2，∴GF＝EG＋EF＝，∵∠BGF＝90°，∠GFB＝30°，∴BF＝＝3.【针对练习】1．(2017·沈阳)四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在边AD所在直线上，连接CE，以CE为边，作正方形CEFG(点D，点F在直线CE的同侧)，连接BF.(1)如图①，当点E与点A重合时，请直接写出BF的长；(2)如图②，当点E在线段AD上时，AE＝1；①求点

5、F到AD的距离；②求BF的长；(3)若BF＝3，请直接写出此时AE的长．,图①)　,图②)　,备用图)第1题图解：(1)BF＝4；第1题解图①(2)过点F作FH⊥AD交AD的延长线于点H，作FM⊥AB交AB的延长线于点M，如解图①所示，则FM＝AH，AM＝FH，①∵AD＝4，AE＝1，∴DE＝3，同(1)得：△EFH≌△CED(AAS)，∴FH＝DE＝3，EH＝CD＝4，即点F到AD的距离为3；②∴BM＝AB＋AM＝4＋3＝7，FM＝AE＋EH＝5，∴BF＝＝＝；(3)分两种情况：①当点E在边AD的左侧时，过F作FH⊥AD于点H，交BC于点K，如解图②所示，同(1)得：△EF

6、H≌△CED，∴FH＝DE＝4＋AE，EH＝CD＝4，∴FK＝8＋AE，在Rt△BFK中，BK＝AH＝EH－AE＝4－AE，由勾股定理得：(4－AE)2＋(8＋AE)2＝(3)2；解得：AE＝1或AE＝－5(舍去)，∴AE＝1；第1题解图②　　　第1题解图③②当点E在边AD的右侧时，过F作FH⊥AD交AD的延长线于点H，交BC的延长线于点K，如解图④所示，同理得：AE＝2＋；综上所述：AE的长为1或2＋.2．(2017·盐城)【探索发现】如图①，是一张直角三角形纸片，∠B＝90°，小明想从中剪出一个以∠B为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE、EF剪下时，

7、所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为；【拓展应用】如图②，在△ABC中，BC＝a，BC边上的高AD＝h，矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC上，顶点Q、M在边BC上，则矩形PQMN面积的最大值为ah；(用含a，h的代数式表示)【灵活应用】如图③，有一块“缺角矩形”ABCDE，AB＝32，BC＝40，AE＝20，CD＝16，小明从中剪出了一个面积最大的矩形，(∠B为所剪出矩形的内角)，求该矩形的面积；【实际应用】如图④，现有一块四边形的木