专题四-综合与探究-类型三-类比探究题

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1、类型三类比探究题例1(2017-成都)问题背景：如图①，等腰ZXABC屮，AB=AC，ZBAC=120°，作AD丄BC于点D，贝【JD为BC的中点，ZBAD=

2、ZBAC=6O°，于是器=曙卡.迁移应用：⑴如图②，AABC和AADE都是等腰三角形，ZBAC=ZDAE=120°，D，E，C三点在同一条直线上，连接BD.①求证：AADB^AAEC；②请直接写出线段AD，BD，CD之间的等量关系式；拓展延伸：(2)如图③，在菱形ABCD中，ZABC=120°，在ZABC内作射线BM，作点C关于BM的对称点E，连接AE并延长交BM于点F，连接CE，CF.①证明ACEF是等边三角形；②若AE=5，CE=

3、2‘求BF的长.【思路点拨】(1)①易得ZDAB=ZEAC，再由三角形全等定理证明；②由本题告诉的性质可得DE=V3AD，再由线段和差得DE=DC-EC，进而得DC—EC=(5aD，再将EC换成相等的线段DB便可得结论；⑵①由C与E关于BF对称，则BF是CE的垂直平分线，进而得BE=BC，CF=EF，Z3=Z4，ZEFB=ZCFB，进而证明AB=BC=BE，得Zl=Z2，再进一步得Z2+Z3=60°，得ZEFC=60°，最后便可得结论：②先由已知条件求出GE、EF，进而得GF，再在/?rABGF中通过解直角三角形得结果.(1)解：①由题意可知：AD=AE，AB=AC，VZDAE=ZBAC»A

4、ZDAB=ZEAC，•••△ADB竺△AEC(SAS)；®CD=V3AD+BD；【解法提示】VAD=AE，ZDAE=120°»ADE=^3AD，VDE=DC-EC»ADC-EC=V3AD，由①知，△ADB9ZAEC».*.EC=DB，DC-DB=V^AD，即CD=V^AD+BD;(2)①明，鸟解囹，建接BE，作BG丄AE于点G，・.C、E关于BM对隸，.・.BE=BC，CF=EF，上3=Z4，ZEFB=ZCFB，在菱形ABCD屮»VZABC=120°，AB=BC，.-.AB=BC=BE，AVBG丄AE，/.Z1=Z2»/.ZGBF=Z2+Z3=

5、ZABC=6O°，•.•在四边形GBNE屮，

6、ZGEN=360°一ZEGB一ZENB一ZGBN=120°，ZFEN=60°，5LVEF=FC，.•./£(/=60。，.•.△EFC為劣边三角形,，例1题解图②・.・AE=5，CE=2，.•.EG=

7、aE=

8、，EF=CE=2，9.•.GF=EG+EF=5，VZBGF=90°，ZGFB=30°，・・・BF=勒：=3五cos30-【针对练习】1•(2017-沈阳)四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在边AD所在直线上，连接CE，以CE为边，作正方形CEFG(点D，点F在直线CE的同侧)，连接BF.⑴如图①，当点E与点A重合时，请直接写出BF的长；(2)如图②，当点E在线段AD±时，AE=1；

9、①求点F到AD的距离；②求BF的长；第1题图解：(i)bf=4伍第1题解图①(2)过点F作FH丄AD交AD的延长线于点H，作FM±AB交AB的延长线于点M，如解图①所示，则FM=AH，AM=FH，①・.・AD=4，AE=1，・・・DE=3，同(1)得：△EFH9ZCED(A4S)，・・・FH=DE=3，EH=CD=4，即点F到AD的距离为3；②・・・BM=AB+AM=4+3=7，FM=AE+EH=5，・・・BF=^/BM2+FM2=yj72+52=仍；（3）分两种情况：①当点E在边AD的左侧吋，过F作FH丄AD于点H，交BC于点K，如解图②所示，同（1）得：△EFH9ZCED，・・・FH

10、=DE=4+AE，EH=CD=4，.・.FK=8+AE，在/?rABFK中，BK=AH=EH—AE=4—AE，由勾股定理得：（4一AE）2+（8+AE）2=（3{T5）2；解得：AE=1或AE=-5（舍去），・・・AE=1；②当点E在边AD的右侧吋，过F作FH丄AD交AD的延长线于点H，交BC的延长线于点K，如解图④所示，同理得：AE=2+寸石；综上所述：AE的长为1或2+^41.2・（2017-盐城）【探索发现】如图①，是一张直角三角形纸片，ZB=90°，小明想从中剪出一个以ZB为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE、EF剪下吋，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验

11、证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为*;【拓展应用】如图②，在AABC中，BC=a，BC边上的高AD=h，矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC上，顶点Q、M在边BC上，则矩形PQMN面积的最大值为fah；（用含「h的代数式表示）【灵活应用】如图③，有一块“缺角矩形”ABCDE，AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，小明从中剪出了一个面积最大的矩形，（ZB为所剪出矩形的内角