专题四综合与探究

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1、1•(2017-乐山)在四边形ABCD中，Z^+ZZ)=180°，对角线MC平分ABAD.⑴如图①，若ZBAD=20°，且ZB=90。，试探究边如9、血与对角线/C的数量关系并说明理由；(2)如图②，若将(1)中的条件“ZB=90。”去掉，(1)中的结论是否成立？请说明理由；(3)如图③，若ZBAD=90°，探究边AO、M3与对角线/C的数量关系并说明理由.图①第1题图解：()AC=AD^AB.理由矗下，由«^ZB=90°».*.ZD=90o.ADAB=120°»AC+今ZDAB，.•.ZD4C=ZB4C=60。，又・.・ZB=90。，.^ACB=3

2、0°，:.AB=^AC，同理AD=^AC..AC=AD+AB.第1题解图①(2)(1)中的结论成立，理由如下：如解图①，以C为顶点C为一边作ZJC£=60°，AACE的另一边交S3延长线于点E，・・•ZBAC=60°，•••△/EC为等边三角形，:.AC=AE=CE，VZP+Z^=180°，ZDAB=i20°，・・・ZDCB=60。».ZDCA+ZACB=60°，又JZBCE+ZACB=60°・・・ZDCA=ZBCE.:.AZ)JC^A5EC(ASA)，：・AD=BE，：・4E=4B+BE=4B+4D，:.AC=AD+AB.(3)AD+AB=y[2AC

3、.理由如下：如解图②，过点C作CE丄/C交的延长线于点E，VZZ)+Zj5=180°，上DAB=90。，・・・ZDCB=90。，JZACE=90°，・•・ZDCA=ZBCE.又・.・/C平分ZDAB，・・・ZC/B=45。，Z£=45°，:.AC=CE.又VZZ)+Z^=180o，ZD=ZCBE，:.'CDA^CBE.:・AD=BE，:.AD+AB=AE.AC在RtA^C^中，ZCAB=45°，:.AE=cos45a=yj2AC，・AD+AB=^2AC.2•(2017-烟台)【操作发现】⑴如图①，HABC为等边三角形，先将三角板屮的60。角与ZACB重合

4、，再将三角板绕点C按顺时针方向旋转(旋转角大于0。且小于30。)，旋转后三角板的一直角边与AB交于点D，在三角板斜边上取一点F，使CF=CD，线段AB上取点E，使ZDCE=30。，连接AF，EF.①求ZEAF的度数；②与EF相等吗？请说明理由；【类比探究】(2)如图②，/ABC为等腰直角三角形，ZACB=90。，先将三角板的90。角与厶CB重合，再将三角板绕点C按顺时针方向旋转(旋转角大于0。且小于45。)，旋转后三角板的一直角边与AB交于点D，在三角板另一直角边上取一点F，使CF=CD，线段AB上取点E，使ZDCE=45°，连接/F，EF.请直接写出探

5、究结果：①求ZEAF的度数；②线段‘ED‘之间的数量关系.第2题图（导学号12734130）解：（1）①・・・△/〃（：'足番边.三角形，:.AC=BC，ZCAB=ZB=ZACB=60°，^ACB=60°，ZFCD=60。，：.^FCA=ZBCD.'CF=CD‘AAFC4沁DCB申，彳

6、FCE，、CE=CE‘:.AFCE^ADCE>:.EF=ED,（2）①ZEJF=45o4-45°=90°/②ED2=AE2-^-BD2.3.(2017-南京)折纸的思考.【操作体验】用一张矩形纸片折等边三角形.第一步，对折矩形纸片ABCD(AB>BQ(图①)，使与DC重合，得到折痕EF，把纸片展平(图②).第二步，如图③，再一次折叠纸片，使点C落在防上的P处，并使折痕经过点B，得到折痕BG，折出FB、PC，得到△P3C(1)说明△PBC是等边三角形.【数学思考】(2)如图④，小明画出了图③的矩形ABCD和等边三角形PBC，他发现，在矩形ABCD屮把APBC

7、经过图形变化，可以得到图⑤屮的更大的等边三角形.请描述图形变化的过程.(3)已知矩形一边长为3cm，另一边长为acm，对于每一个确定的a的值，在矩形中都能画出最大的等边三角形，请画出不同情形的示意图，并写出对应的a的取值范I韦1・【问题解决】(4)用一张正方形铁片剪一个直角边长分别为4cm和1cm的直角三角形铁片，所需正方形铁片的边长的最小值为普cm.BF图②BC图④BB（；图⑤第3题图解：⑴由折爰可儀、PB=PC，BP=BC、:•厶PBC花劣边三角形；B(：第3题解图①(2)本题答案不唯一，下列解法供参考.例如：如解图①，以点B为中心，在矩形ABCD中把

8、按逆时针方向旋转适当的角度，得到△P、BC「再以点B为位似中心，将