角平分线 (2).ppt

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1、第一章三角形的证明学习目标：1.能够证明角平分线的性质定理、判定定理2.能够运用角平分线的性质定理、判定定理解决几何问题重点：角平分线的性质定理、判定定理难点：利用角平分线的性质定理、判定定理解决几何问题已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E．求证：PD=PE．证明：∵∠1=∠2，OP=OP，∠PDO=∠PEO=90°，∴△PDO≌△PEO(AAS)．∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)21EDCPOBA还记得角平分线上的点有什么性质吗?你是怎样得到的?用心想一想角平分线上的点到角两边的距离相等．角平分

2、线的性质定理角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．21EDCPOBA符号语言：∵点P在∠AOB的角平分线上，PE⊥OA，PD⊥OB．∴PE=PD如果有一个点到角两边的距离相等，那么这个点必在这个角的平分线上．你能写出这个定理的逆命题吗?用心想一想，马到功成这个命题是假命题．角平分线是角内部的一条射线，而角的外部也存在到角两边距离相等的点．角平分线性质定理的逆命题：在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上．这是一个真命题吗?已知：在∠AOB内部有一点P，且PD⊥OA，PE⊥OB，D、E为垂足且PD=PE，求证：点P在∠AOB的角平分线上

3、．证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°．在Rt△ODP和Rt△OEP中OP=OP，PD=PE∴Rt△ODP≌Rt△OEP(HL)．∴∠1=∠2(全等三角形对应角相等)．21EDCPOBA证明：角平分线性质定理的逆命题：在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上．角平分线的判定定理在一个角的内部，且到角两边距离相等的点，在这个角的角平分线上．符号语言：∵PE⊥OA，PD⊥OB，且PD=PE，∴点P在∠AOB的平分线上．21EDCPOBA二、基础训练：1．如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥

4、AB于D，如果AC=3cm，那么AE+DE等于2．如图2，∠AOB = 70°，QC⊥OA于C，QD⊥OB于D，若QC = QD，则∠AOQ=°3．如图3所示，D是∠AOB平分线上的一点，DE⊥OA，DF⊥OB，垂足分别是E，F．下列结论不一定成立的是（）A．DE=DF      B．OE=OFC．∠ODE=∠ODF    D．OD=DE+DF例题展示：在△ABC中，∠BAC=60°，点D在BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF，求DE的长.ABCDEF四、课堂检测：1．OM平分∠BOA，P是OM上的任意一点，PD⊥OA

5、，PE⊥OB，垂足分别为D.E，下列结论中错误的是（）A．PD=PEB．OD=OEC．∠DPO=∠EPOD．PD=OD2．如图5，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B，下列结论中不一定成立的是（）A．PA=PBB．PO平分∠APBC．OA=OBD．AB垂直平分OP3．如图6，∠BAC=60°，AP平分∠BAC，PD⊥AB，PE⊥AC垂足分别为D、E，若AD=，则PE=．4．如图7，已知MP⊥OP于P，MQ⊥OQ于Q，=6cm，OP=3cm，则MQ=__________cm．5．如图8，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交C

6、B于点D，过点D作DE⊥AB于点E．（1）求证：△ACD≌△AED；（2）若∠B=30°，CD=1，求BD的长图8课堂小结,畅谈收获：(一)角平分线的性质定理角平分线上的点到角两边的距离相等．(二)角平分线的判定定理在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上．(三)用尺规作角平分线．