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时间:2020-03-01
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1、第一章三角形的证明学习目标:1.能够证明角平分线的性质定理、判定定理2.能够运用角平分线的性质定理、判定定理解决几何问题重点:角平分线的性质定理、判定定理难点:利用角平分线的性质定理、判定定理解决几何问题已知:如图,OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D、E.求证:PD=PE.证明:∵∠1=∠2,OP=OP,∠PDO=∠PEO=90°,∴△PDO≌△PEO(AAS).∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)21EDCPOBA还记得角平分线上的点有什么性质吗?你是怎样得到的?用心想一想角平分线上的点到角两边的距离相等.角平分
2、线的性质定理角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.21EDCPOBA符号语言:∵点P在∠AOB的角平分线上,PE⊥OA,PD⊥OB.∴PE=PD如果有一个点到角两边的距离相等,那么这个点必在这个角的平分线上.你能写出这个定理的逆命题吗?用心想一想,马到功成这个命题是假命题.角平分线是角内部的一条射线,而角的外部也存在到角两边距离相等的点.角平分线性质定理的逆命题:在一个角的内部且到角的两边距离相等的点,在这个角的角平分线上.这是一个真命题吗?已知:在∠AOB内部有一点P,且PD⊥OA,PE⊥OB,D、E为垂足且PD=PE,求证:点P在∠AOB的角平分线上
3、.证明:∵PD⊥OA,PE⊥OB,∴∠PDO=∠PEO=90°.在Rt△ODP和Rt△OEP中OP=OP,PD=PE∴Rt△ODP≌Rt△OEP(HL).∴∠1=∠2(全等三角形对应角相等).21EDCPOBA证明:角平分线性质定理的逆命题:在一个角的内部且到角的两边距离相等的点,在这个角的角平分线上.角平分线的判定定理在一个角的内部,且到角两边距离相等的点,在这个角的角平分线上.符号语言:∵PE⊥OA,PD⊥OB,且PD=PE,∴点P在∠AOB的平分线上.21EDCPOBA二、基础训练:1.如图1,在△ABC中,∠ACB=90°,BE平分∠ABC,DE⊥
4、AB于D,如果AC=3cm,那么AE+DE等于2.如图2,∠AOB = 70°,QC⊥OA于C,QD⊥OB于D,若QC = QD,则∠AOQ=°3.如图3所示,D是∠AOB平分线上的一点,DE⊥OA,DF⊥OB,垂足分别是E,F.下列结论不一定成立的是()A.DE=DF B.OE=OFC.∠ODE=∠ODF D.OD=DE+DF例题展示:在△ABC中,∠BAC=60°,点D在BC上,AD=10,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,且DE=DF,求DE的长.ABCDEF四、课堂检测:1.OM平分∠BOA,P是OM上的任意一点,PD⊥OA
5、,PE⊥OB,垂足分别为D.E,下列结论中错误的是()A.PD=PEB.OD=OEC.∠DPO=∠EPOD.PD=OD2.如图5,OP平分∠AOB,PA⊥OA,PB⊥OB,垂足分别为A,B,下列结论中不一定成立的是()A.PA=PBB.PO平分∠APBC.OA=OBD.AB垂直平分OP3.如图6,∠BAC=60°,AP平分∠BAC,PD⊥AB,PE⊥AC垂足分别为D、E,若AD=,则PE=.4.如图7,已知MP⊥OP于P,MQ⊥OQ于Q,=6cm,OP=3cm,则MQ=__________cm.5.如图8,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,交C
6、B于点D,过点D作DE⊥AB于点E.(1)求证:△ACD≌△AED;(2)若∠B=30°,CD=1,求BD的长图8课堂小结,畅谈收获:(一)角平分线的性质定理角平分线上的点到角两边的距离相等.(二)角平分线的判定定理在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.(三)用尺规作角平分线.
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