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1、1.4角平分线(1)1.角平分线的性质定理和判定定理。2.用尺规作角的平分线。本节课我们学习什么?还记得角平分线上的点有什么性质吗?你是怎样得到的?与小组同学交流。角平分线上的点到角两边的距离相等。回顾思考角平分线上的点到角两边的距离相等。已知:如图,OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D、E.求证:PD=PE.证明:∵∠1=∠2,OP=OP,∠PDO=∠PEO=90°,∴△PDO≌△PEO(AAS).∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)AOCB12PDE你能证明这个结论吗?定理:角平分线上的点到这个角的两边距离相等.∵OC
2、是∠AOB的平分线,P是OC上任意,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知)∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).图形语言文字语言数字符号语言AOCB12PDE你能写出上面这个定理的逆命题吗?性质定理:角平分线上的点到这个角的两边距离相等.如果有一个点到角两边的距离相等,那么这个点必在这个角的平分线上.这是一个真命题吗?如果是,请证明;如果不是请举出反例。不是真命题,是假命题。在角的外部,也存在到角两边距离相等的点,但是这个点不在这个角的平分线上.用心想一想,马到成功角平分线性质定理的逆命题:在一个角的内部且到角的两边距离相等的点,在这个角的
3、角平分线上。它是真命题吗?如果是.请你证明它。AOCB12PDE已知:在∠AOB内部有一点P,且PD⊥OA,PE⊥OB,D、E为垂足且PD=PE,求证:点P在∠AOB的角平分线上.证明:∵PD⊥OA,PE⊥OB,∴∠PDO=∠PEO=90°在Rt△ODP和Rt△OEP中OP=OP,PD=PE∴Rt△ODP≌Rt△OEP(HL).∴∠1=∠2(全等三角形对应角相等).AOCB12PDE判定定理:在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.∵PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知),且PD=PE,∴点P在∠AOB的平分线上.(在一个角的内部,且
4、到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上).图形语言文字语言数字符号语言AOCB12PDE1.如图,AD,AE分别是△ABC中∠A的内角平分线外角平分线,它们有什么位置关系?老师期望:你能说出结论并能证明它.EDABCF练一练,我最棒!2.已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.求证:EB=FC.老师期望:做完题目后,一定要“悟”到点东西,纳入到自己的认知结构中去.BAEDCF你能用什么办法平分一个已知角呢?1.可以用量角器.2.使用三角尺,也可以平分一个已知角.3.用角尺也可以平分一个已知角.4.用直
5、尺和圆规平分一个已知角.5.用折纸的办法也可以平分一个已知角.发散思维,想一想已知:∠AOB,如图.求作:射线OC,使∠AOC=∠BOC.用尺规作角的平分线.作法:1.在OA和OB上分别截取OD,OE,使OD=OE.2.分别以点D和E为圆心,以大于DE/2长为半径作弧,两弧在∠AOB内交于点C.3.作射线OC.则射线OC就是∠AOB的平分线.ABOCDE你能说明射线OC为什么是∠AOB的平分线吗?1.利用尺规作出三角形三个内角的平分线。你发现了什么?学以致用,练一练2.如图,求作一点P,使PC=PD,并且点P到∠AOB的两边的距离相等.C●D●ABO学以致用,练一练
6、温馨提示:本题综合运用线段的垂直平分线的性质和角平分线的性质哦!3.如图,一目标在A区,到期公路,铁路距离相等,离公路与铁路的交叉处500m.在图上标出它的位置(比例尺1:20000)。A区学以致用,练一练1.角平分线的性质定理:角平分线上的点到这个角的两边距离相等.2.角平分线的判定定理:在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.3.用尺规作角平分线回顾一下吧,本节课你学到了什么?Thankyou!