漫谈算术数与有理数.doc

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1、漫谈算术数与有理数学习了负数之后，所研究的数的范围，就由算术数(正整数、正分数和零)扩充到了有理数.那么随着数的集合的扩充，数的性质是否也随着发生变化了呢?这是一个值得大家认真思考的问题.同学们可能已经发现，算术数的有些性质，在有理数集合内被“完整”地保留下来.如数0和1的运算性质：“任何数同0相加仍得这个数；任何数同1相乘仍得这个数”，在有理数集合中仍然成立；加法和乘法的运算律在有理数中也仍然使用，并且有理数的四则运算的法则都是通过算术数的四则运算的法则加以规定的.但是大家一定要注意到，并不是算术

2、数集合的所有性质都可以原封不动地搬到有理数集合中使用.也就是说，有些算术数所具备的性质，在有理数集合中不一定成立；反之，算术数所不具备的性质，在有理数集合中却能够成立.下面我们从几个具体的方面加以说明.1．零的意义不再表示“没有”．在小学学习自然数时，曾经学过，自然数是数物体的个数而得到的．如从一只羊，两个苹果，三棵树，…，十个手指头等数具体物体的过程中，逐渐抽象产生出自然数1，2，3，…，10，….后来为了计算的需要和表示没有物体，就想出了用“零”来代替，记作0，这是在小学算术中，我们对“零”的认

3、识．在生活语言中，也常有类似的情况，如有人说：“张三的话等于零”，意思是指张三说了不起作用，和没说一个样.但是在有理数集合中，“0”不再表示“没有”了.例如，某地海拔高度是0米，是指这一地点与海平面的高度一样高，而不是指这个地点没有高度.类似的例子，同学们自己也能够举出一些！2．零不再是最小的数了．在算术数中，0是最小的一个数，0以外的其它数都比0大.而在有理数集合中，却既没有最大的数，也没有最小的数.0不再是最小的有理数，比0小的有理数有无数多个，所有的负数都小于0．3．关于减法运算的封闭性．在算

4、术数中，我们知道，任意两个算术数的和、积、商(除数不得为0)仍然还是算术数.因此，我们就说算术数关于加法、乘法和除法具有封闭性.然而，算术数关于减法却不具有封闭性.如2－3，小学同学都会说，这“不够减的”或“减不着”.原因就是，被减数2小于减数3，在算术数中找不到这样一个数，它与3的和等于2.因此，在算术数中，进行减法运算有一个限定：被减数一定要不小于减数，这时差才存在(是个算术数)，否则减法将无法进行.在有理数集合中，这个限定被取消了，任何两个有理数都能相减，并且差还是一个有理数，当被减数大于减数

5、时，差是正数；当被减数等于减数时，差是0；当被减数小于减数时，差是负数.有理数关于加法、减法、乘法、除法(除数不得为零)和乘方运算都具有封闭性.4．减法统一为加法．对于算术数而言，加法与减法是相互对立的：加法和减法互为逆运算，二者有各自不同的运算法则.在有理数集合中，加法和减法也互为逆运算，但根据有理数减法法则，便把有理数的减法转化为加法进行，从而使加、减这两种运算统一为一种运算.有理数加法和减法二者之间的这种既相互对立又相互统一的关系，正是数学中充满辩证法的一个生动事例.