有理数的巧算

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1、有理数运算中的几个技巧一、归类运算进行有理数的加减运算时，运用交换律、结合律归类加减，常常可以使运算简捷．如整数与整数结合、如分数与分数结合、同分母与同分母结合等．例1计算：－(0.5)－(－3)+2.75－(7)．解法一：－(0.5)－(－3)+2.75－(7)=(－0.5+2.75)+(3－7)=2.25－4=－2．解法二：－(0.5)－(－3)+2.75－(7)=－0.5+3+2.75－7=(3+2－7)+(－0.5++0.75－=－2．例3计算：[4＋(－)]＋[(－)＋6]．解：[4＋(－)]＋[(－)＋6]=4＋

2、(－)＋(－)＋6=[4＋6]＋[(－)＋(－)]=11＋(－)=10．二、分组搭配观察所求算式特征，巧妙运用分组搭配处理，可以简化运算．例4计算：2－3－4＋5＋6－7－8＋9…＋66－67－68＋69．解：2－3－4＋5＋6－7－8＋9…＋66－67－68＋69=(2－3－4＋5)＋(6－7－8＋9)＋…＋(66－67－68＋69)=0．评析：这种分组运算的过程，实质上是巧妙地添括号或去括号问题．三、凑整求和例5计算：19＋299＋3999＋49999．5解：19＋299＋3999＋49999=20－1＋300－1＋40

3、00－1＋50000－1=(20＋300＋4000＋50000)－4=54320－4=54316．例6计算11＋192＋1993＋19994＋199995＋1999996＋19999997＋199999998＋1999999999．解：添上9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1，依次与各数配对相加，得：11＋192＋1993＋19994＋199995＋1999996＋19999997＋199999998＋1999999999．=20＋200＋2×10＋2×10＋…＋2×10－(9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1)=2222222

4、220－45=2222222175．一、逆用运算律有理数的数字运算中，若能根据题目所显示的结构、关系特征，对此加以灵活变形，便可巧妙地逆用分配律，使解题简洁明快．例7计算：17.48×37＋174.8×1.9＋8.74×88．解：17.48×37＋174.8×1.9＋8.74×88=17.48×37＋(17.48×10)×1.9＋17.48×44=17.48×37＋17.48×19＋17.48×44=17.48×(37＋19＋44)=1748．二、巧拆项例8计算2005×－1001×．解：2005×－=(2004＋1)×－(

5、1002－1)×5=(2003－1001)＋(＋)=1003．评析：对于这些题目结构复杂，长度较大的数，用常规的方法不易解决．解这类问题要根据题目的结构特点，找出拆项规律，灵活巧妙地把问题解决．一、换元法通过引入新变量转化命题结构，这样不但可以减少运算过程，还有利于寻找接题思路，其中的新变量在解题过程中起到桥梁作用．例9计算×(0.125＋)．解：设a=，b=0.125，c=，则×(0.125＋)=×(b＋)=×=1．评析：此题横看纵看都显得比较复杂，但若仔细观察，整个式子可分为三个部分：，0.125，，因此，采用变量替换就

6、大大减少了计算量．例10计算1－＋－＋－＋－＋．解；设1－＋－＋－＋－＋=x，①则①×(－)，得－＋－＋－＋－＋－=－x，②①－②，得1＋=x，解得x=，故1－＋－＋－＋－＋=．5一、倒序相加在处理多项式的加减乘除运算时，常根据所求式结构，采用倒序相加减的方法把问题简化．例11计算＋(＋)＋(＋＋)＋(＋＋＋)＋…＋(＋＋…＋＋)．①解：把①式括号内倒序后，得：＋(＋)＋(＋＋)＋(＋＋＋)＋…＋(＋＋…＋＋)，②①＋②得：1＋2＋3＋4＋…＋58＋59=1770，∴＋(＋)＋(＋＋)＋(＋＋＋)＋…＋(＋＋…＋＋)=(17

7、70)=885．评析：此题运等比数列求和也行有理数的巧算与速算        有理数的计算题在大大小小的考试中都占有很重要的地位，而有理数的题目又变化多样，可以说是形形色色，怎样解决这类题目呢？当然，灵活运用有理数的运算法则、运算律，适当地添加或去括号改变运算顺序，常可达到简化运算的效果。而凑整、分组、拆项、相消、分解相约、整体处理等是有理数运算常用的方法与技巧。一、  倒序相加法例1. 求的值。   练习：1. 求和。2. 求和。  二、拆项相加法例2. 求和。练习：1.  2. 求和。5  3. 求和。  三、  错位相

8、减法例（等比数列）3. 求和。练习：  1. 求的值。 2. 求的值。  例4. 求的值。练习：  1. 计算：。2. 求的值。3.已知;;;（1）猜想填空：()()（2）计算①   ②5