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《初中数学竞赛：有理数的巧算》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、初中数学竞赛：有理数的巧算有理数运算是屮学数学屮一切运算的基础.它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算.不仅如此，还要善于根据题冃条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力,发展思维的敏捷性与灵活性.1.括号的使用在代数运算屮，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单.例1计算：(1)47-^18.75-1-^)x2^746;分析屮学数学屮，rh于负数的引入，符号“+”与具有了双重涵义，它既是表示加法与减法的运算符号，
2、也是表示正数与负数的性质符号.因此进行有理数运算时，一定要正确运用有理数的运算法则，尤其是要注意去括号时符号的变化.»丁I(1)原式=(3门-04613547-V56x—25■235047-3斗23504650=—x—523⑵原式V占L里字—X1——X—44444025163=25=40^=40><25=255-16注意在本例中的乘除运算中，常常把小数变成分数，把带分数变成假分数，这样便于计算.例2计算下式的值：211X555+445X789+555X789+211X445.分析直接计算很麻烦，根据运算规则，添加括号改变运算次序，可使计算简单.本题可将第
3、一、第四项和第二、第三项分别结合起来计算.解原式二(211X555+211X445)+(445X789+555X789)=21IX(555+445)+(445+555)X789=211X1000+1000X789=1000X(211+789)=1000000.说明加括号的一般思想方法是“分组求和”，它是有理数巧算中的常用技巧.例3计算：S二1-2+3-4+・・・+(-1)⑷•n.分析不难看出这个算式的规律是任何相邻两项之和或为“1”或为“-1”.如果按照将第一、第二项，第三、第四项，…，分别配对的方式计算，就能得到一系列的“-1”，于是一改“去括号”的习
4、惯，而取“添括号”Z法.解S二(1—2)+(3—4)+・・・+(-1严-n.下面紺对n的奇偶性进行讨论：当n为偶数吋，上式是n/2个(-1)的和，所以有严...n-1n+1i)x〒+叶丁当n为奇数时，上式是(n-1)/2个(-1)的和，再加上最后一项(-l)n+，所以有严…、n-1n+1n)p+叶丁例4在数1,2,3,…，1998前添符号“+”和“-”,并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？分析与解因为若干个整数和的奇他性，只与奇数的个数有关，所以在1,2,3,…，1998之前任意添加符号“+”或，不会改变和的奇偶性.在］,2,3,…，1998中有19
5、98-2个奇数，即有999个奇数，所以任意添加符号“+”或“-”之后，所得的代数和总为奇数，故最小非负数不小于1.现考虑在自然数n,n+1,n+2,n+3Z间添加符号“+”或“-”，显然n~(n+l)一(n+2)+(n+3)=0.这启发我们将1，2,3,1998每连续四个数分为一组，再按上述规则添加符号，即(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+・・•+(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1.所以，所求最小非负数是1.说明本例屮，添括号是为了造出一系列的“零”，这种方法可使计算大大简化.1.用字母表示数我们先来计算(100+2
6、)X(100-2)的值:(100+2)X(100-2)=100X100-2X100+2X100-4=100-22.这是一个对具体数的运算，若用字母a代换100,用字母b代换2,上述运算过程变为(a+b)(a~b)=a2-ab+ab-b2=a2-b".于是我们得到了一个重要的计算公式(a+b)(a-b)=a2-b2,①这个公式叫平方差公式，以后应用这个公式计算时，不必重复公式的证明过程，可直接利用该公式计算.例5计算3001X2999的值.解3001X2999=(3000+1)(3000-1)=3000-12=8999999.例6计算103X97X1000
7、9的值.解原式=(100+3)(100-3)(10000+9)=(100-9)(1002+9)=100-92=99999919.例7计算：2469012346?-12345x12341分析与解直接计算繁.仔细观察，发现分母中涉及到三个连续整数：12345,12346,12347.可设字母n=12346,那么12345=n~l,12347二n+1,于是分母变为n2-(n-l)(n+1).应用平方差公式化简得n2-(n2-12)=n2-n2+1=1,即原式分母的值是1,所以原式二24690.例8计算：(2+1)(2"+1)(2*1)(28+1)(216+1)
8、(232+1).分析式子中2,22,2…每一个数都是前一个数的平方，若在(2+
