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《数形结合思想的应用.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、把数量关系的研究转化为图形性质的研究，或者把图形性质的研究转化为数量关系的研究，这种“数”与“形”相互转化的解题策略，就是数形结合的思想.华罗庚先生说过:数形本是两依倚,焉能分作两边飞.数缺形时少直观,形少数时难入微.华罗庚(1910～1985)数学家中科院院士从两道简单的例子谈数学思想与方法(一)设奇函数在上为增函数，且则不等式的解集为（）(08全国Ⅰ理)A．B．C．D．解：依题意，可画出图象的草图如右下.可化为从而选D.又不等式即异号，yxo1-1从两道简单的例子谈数学思想与方法(二)若实数x、
2、y满足是（）A.(0,1)B.(0,1］C.(1,+∞)D.［1,+∞)(08福建理)，则的取值范围解：首先画出不等式组所确定的可行域（如图所示的阴影区域）.设，则(实现了由数到形的转化)由图象可知，当时，直线与可行域有公共点，从而选C.yxy=
3、x
4、y=axo【例1】（07安徽）对任意 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（）令y=
5、x
6、和y=ax，在同一坐标系中画出它们的图象，易知，当时有.【分析及解】本题若讨
7、x
8、，则解法比较复杂.若能联想到函数的图象，则问题就显得直观易解.评注：
9、本例就是把数量关系的研究转化为图形性质的研究的一个范例.亦即由“数”到“形”的转化.把解不等式的问题转化为根据图象判断函数值大小的问题，体现了数形结合和函数思想.(A)(B)(C)(D)【例2】已知 且求 的最大值和最小值.【分析及解】令 ，则已知式可化为再设由图可见，则当线段与圆弧相切时，截距t取最大值当线段端点是圆弧端点时，t取最小值（如图中CD位置）.则问题转化为:当线段和圆弧有公共点时，求t的最值问题.（如图中AB位置）；yxoABCDt评注：曲线与方
10、程是数形结合思想的一种表现形式.将代数问题转化为判断图形位置关系的几何问题，是数形结合的经典应用.运用『数形结合』思想解题的两种主要渠道1.函数与它的图象：当问题涉及一个主元时，可以构造一个或多个函数，利用函数的图象及性质解决问题；2.曲线与方程：当问题涉及二个主元时，可以构造成一个或多个曲线的方程，利用曲线的几何性质解决问题.yxy=xy=log2xoy=3-xy=2xABM【例3】方程 和 的解分别是和 ，求 的值.图象与直线的交点A、B的横坐标（如图所示）又函
11、数和 互为反函数，其图象关于直线y=x对称，而直线y=x与直线y=3-x垂直，故点A、B关于直线y=x对称，∴直线y=x与直线y=3-x的交点M为线段AB的中点.易求得M的坐标为，所以评注：本例体现了函数思想和数形结合，首先是由数到形，然后根据互为反函数图象间的关系得到数量关系式.【解】在坐标系中分别画出函数 和 的图象与直线 ，则 分别是函数 与 的yxo1例4：已知不等式在上恒成立，求的取值范围.解：原不等式可化为令求的取值范围，使在上恒成立.则问题转化为
12、由图象知【例3】（2005年辽宁）已知是定义在R上的单调函数，【分析及解】如果采用代数运算，则无所适从，如果画出单调函数的示意图象，由可断定横坐标为的点，至少有一个在横坐标为的点的外部，根据定比分点的性质，有实数若，则（）.(A)(B)(C)(D)abf(b)f(a)yxox1x2f(x2)f(x1)评注：本例由单调函数的图象直观地表述了x1,x2,a,b的函数值之间的大小关系，实现了由形到数的转化.【例4】（2005年,辽宁)一给定函数的图象在下列图中，并且对任意，由关系式得到的数列满足，则该函数
13、的图象是（）yxo11yxo11yxo11yxo11(A)(B)(C)(D)【分析及解】这是一道函数,数列,函数图象综合在一起的选择题,需要通过数列的性质研究函数图象的特征.实际上,只要设,则有且,并对所有的 都成立,因此选(A).评注：本例由数量关系an+1=f(an)及an+1>an判断函数y=f(x)的图象位于直线y=x的上方，实现了由数到形的转化.【例5】(2005年，江苏)△ABC中， 则△ABC的周长为().（A） （B）（C） （D）【分析及解】
14、本题大部分考生都是用三角恒等变形和正弦定理通过一定量的计算来完成,但是注意到数形结合,可以很快解决问题.为此,延长CA到D,使AD=AB,ACBD则由正弦定理由此,选(C).得评注：本例的关键是把求折线AB＋AC的长转化为求线段CD的长，体现了数形结合和转化的思想.【例6】若方程在内有唯一解，求实数m的取值范围.【分析及解】原方程可化为令在同一坐标系中画出它们的图象（如图）.yxo13-3y=1y=m由原方程在（0，3）内有唯一解，知 的图象只有一个公共点，由图象
