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《数形结合思想的应用.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、洪家中学选修课——数学能力拓展把数量关系的研究转化为图形性质的研究，或者把图形性质的研究转化为数量关系的研究，这种“数”与“形”相互转化的解题策略，就是数形结合的思想.华罗庚先生说过:数形本是两依倚,焉能分作两边飞.数缺形时少直观,形少数时难入微.华罗庚(1910～1985)数学家中科院院士从两道简单的例子谈数学思想与方法(一)设奇函数在上为增函数，且则不等式的解集为（）引例1A．B．C．D．解：依题意，可画出图象的草图如右下.可化为从而选D.又不等式即异号，引例2对a,bR,记max{a,b}=函数f（x）＝max{
2、x+1
3、
4、,
5、x－2
6、}(xR)的最小值是.【分析及解】先求出f（x）的表达式，再根据表达式画出函数的图象.故由从图象上可以得到yxo1234-1-2y=
7、x+1
8、y=
9、x-2
10、评注：本题考查创新思维，要求对新定义的函数有所理解、从而得函数的解析式，再根据图象求出函数的最小值.yxy=
11、x
12、y=axo【例1】对任意 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（）令y=
13、x
14、和y=ax，在同一坐标系中画出它们的图象，易知，当时有.【分析及解】本题若讨
15、x
16、，则解法比较复杂.若能联想到函数的图象，则问题就显得直观易解.评注：本例就是
17、把数量关系的研究转化为图形性质的研究的一个范例.亦即由“数”到“形”的转化.把解不等式的问题转化为根据图象判断函数值大小的问题，体现了数形结合和函数思想.(A)(B)(C)(D)运用『数形结合』思想解题的两种主要渠道函数与它的图象：当问题涉及一个主元时，可以构造一个或多个函数，利用函数的图象及性质解决问题；yxy=xy=log2xoy=3-xy=2xABM【例2】方程 和 的解分别是和 ，求 的值.图象与直线的交点A、B的横坐标（如图所示）又函数和 互为反函数，其图象关于直线y=x对称
18、，而直线y=x与直线y=3-x垂直，故点A、B关于直线y=x对称，∴直线y=x与直线y=3-x的交点M为线段AB的中点.易求得M的坐标为，所以评注：本例体现了函数思想和数形结合，首先是由数到形，然后根据互为反函数图象间的关系得到数量关系式.【解】在坐标系中分别画出函数 和 的图象与直线 ，则 分别是函数 与 的yxo1例3：已知不等式在上恒成立，求的取值范围.解：原不等式可化为令求的取值范围，使在上恒成立.则问题转化为由图象知【例4】若方程在内有唯一解，求实数m的取值范围.【分析及解】原方程可化
19、为令在同一坐标系中画出它们的图象（如图）.yxo13-3y=1y=m由原方程在（0，3）内有唯一解，知 的图象只有一个公共点，由图象可知，m的取值范围是或.评注：本例的关键是将求解方程的问题转化为判断两个函数图象的交点问题，体现了函数思想、数形结合和转化与化归的思想.【例5】oxy答案：则方程有2个不同实数解,且为一正根,一零根.【分析及解】画出函数的图像,该图像关于直线x＝1对称.【例6】设定义域为R的函数，则关于x的方程有7个不同实数解的充要条件是（）(A)(B)(C)(D)且故选(C).因此yxo1y=lgxyxo1
20、y=lg
21、x
22、yxo1y=
23、lg
24、x
25、
26、令若有7个不同实数解,评注：利用基本函数的图象和图象的初等变换做出已知函数的图象，是研究函数问题时的基本功之一.yxo1y=f(x)x1x2x3x4【例7】在R上定义的函数是偶函数，且,若在区间[1,2]上是减函数，则（ ）Ａ．在区间[-2,-1]上是增函数，在区间[3,4]上是增函数Ｂ．在区间[-2,-1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数Ｃ．在区间[-2,-1]上是减函数，在区间[3,4]上是增函数Ｄ．在区间[-2,-1]上是减函数，在区间[3,4]上是减函数【分析及解】由知函
27、数的图象关于直线对称，再由 在区间[1,2]上是减函数这一条件，再由 和 得yxo1234-1-2就可以画出的示意图.从而选B.评注：利用函数的对称性和周期性以及它们之间的关系做出已知函数的图象，也是研究函数问题时的基本功之一.所以 是以2为周期的周期函数.【分析及解】如图所示，单位圆中的长为x，与弦AB所围成的弓形面积的2倍.【例8】如图所示，单位圆中弧AB的长为x,f(x)表示弧AB与弦AB所围成的弓形面积的２倍，则函数y=f(x)的图象是（）当的长小于半圆时，函数的值增加的越来越快，当的长大于
28、半圆时，函数的值增加的越来越慢，所以函数的图像是D.AB评注：本题主要考察图形的直觉思维能力.当然，也可计算 和 的值来判断函数图象的形状.yxo2pp2ppyxo2pp2ppyxo2pp2ppyxo2pp2ppABCD
